#HigherCategoryTheory Marco Grandis et Robert Paré : intercategories

Cet article est une bonne introduction aux intercatégories et catégories triples ou doubles:

https://arxiv.org/pdf/1412.0144.pdf

https://home.sandiego.edu/~shulman/cmshighercategories2013/Pare.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/intercategory

On trouve donc (Page 1) trois sortes de morphismes : transversal, horizontal, vertical, d’où trois catégories différentes associées

Une catégorie triple est une catégorie interne à la catégorie des catégories doubles, qui sont elles mêmes des catégories internes à Cat, la catégorie des catégories, qui peut être vue comme une 2-catégorie :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

La construction de quintettes évoquée page 1 est dûe à Ehresmann :

https://ncatlab.org/nlab/show/quintet+construction

Elle permet de former, à partir d’une 2-catégorie, une catégorie double :
Les objets (0-cells) sont conservés, les morphismes horizontaux ou verticaux sont les morphismes de la 2-catégorie, et les 2-morphismes sont les 2-morphismes entre compositions de 1-morphismes dans la 2-catégorie de départ.

Cela a conduit Dominic Verity à l’idée de bicatégorie double :

https://ncatlab.org/nlab/show/double+bicategory

(Une bicatégorie est une 2-catégorie non stricte, où l’associativité ou l’élément neutre de la composition de flèches ne sont pas définies par des égalités strictes). Une bicatégorie double peut être vue comme une intercatégorie particulière.

La figure de la page 3,représente un cube, constituant de base à 3 dimensions de l’intercatégorie.

Sur ce diagramme les objets (0-cells) sont A, B, A’, B’ les flèches obliques sont f, g,.. les flèches horizontales sont h, h’… les flèches verticales sont
v, v’..

Il y a trois sortes de carrés (structures à 2 dimensions ) :

horizontal (sur la figure φ ) vertical ( ψ ) et basique (α‘)

et une seule sorte de cube (3 dimensions )

Il y a de même trois sortes de composition, décrites page 3 : transversale, horizontale et verticale.

Les combinaisons de structures transversales et horizontales, puis transversales et verticales ménent à des caégories doubles, tandis que la combinaison de compositions horizontale et verticale est sujette à la loi d’interchangement, dont la formule est explicitée page 4. Cette formule conduit à des interchangements spéciaux qui sont des cubes, vus comme des 3-morphismes entre carrés allant de l’arrière vers l’avant , ainsi la figure page 4 représente l’interchangement

μ : idv * idu → idv*u

Où * est la composition verticale ( Haut de la page 4)

idv et idu sont des carrés , leur composition conduit à

idv*u et cette composition μ est représentée par le cube à la fin de la page 4

Le paragraphe 2 page 6 donne un rappel sur les catégories doubles, à partir de l’article :

http://www.numdam.org/article/CTGDC_2004__45_3_193_0.pdf

Avec la catégorie Dbl dont les objets sont les catégories doubles (weak = faible signifie que l’on n’a pas des égalités strictes, mais à un isomorphisme près) : les flèches horizontales sont les « lax functors »:

https://ncatlab.org/nlab/show/lax+functor

Les flèches verticales sont les foncteurs colax qui sont en adjonction avec les foncteurs lax :

http://www.numdam.org/article/CTGDC_2004__45_3_193_0.pdf

De Dbl on extrait deux 2-catégories LxDbl et CxDbl en limitant les flèches verticales (resp horizontales ) à être des identités.

Le paragraphe 3 page 9 fait appel à la notion de pseudocatégorie dans une 2-catégorie qui est l’objet de cet article :

https://arxiv.org/abs/math/0604549

NB : Une pseudocatégorie dans la 2-catégorie Cat est une catégorie double faible (weak double category)

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

définition 3.2 page 10 :

Les intercatégories horizontales sont des pseudocatégories dans la 2-catégorie LxDbl. Cf la définition 3.1 page 9 d’un objet pseudocatégorie dans une 2-catégorie A

Définition 3.3 page 11 : une intercatégorie verticale est une pseudocatégorie dans LxDbl

La troisième structure qui « modélise » la notion d’intercatégorie est plus symétrique que les deux précédentes : c’est celle de double pseudocatégorie dans Cat (paragraphe 4)

Le théorème 4.1 page démontre que ces trois structures représentent (sont les modèles de) une seule et même Idée (« are the same ») c’est à dire sont spécifiées par les mêmes données et ont les mêmes propriétés

Le théorème 6.3 page 33 spécifie une catégorie triple ICat ayant pour objets les intercatégories.

Les flèches transversales sont les morphismes colax-lax; les flèches horizontales sont les morphismes lax-lax et les flèches verticales sont les morphismes colax-colax; les trois sortes de 2-morphismes sont explicités avant, page 32.
Il reste , pour les 3-cellules (triple cells) , les cubes commutant (une seule sorte ) , qui sont explicités après, page 33-34.

Tout cela est un peu compliqué , voire confus sans les diagrammes , qui sont trop complexes pour que je les reproduise, mais il y a cette conférence de Paré qui donne des exemples d’intercatégories :

https://www.mscs.dal.ca/~pare/ICExamples.pdf

Une autre version, plus simple à lire, du travail étudié ici, est :

https://www.mscs.dal.ca/~pare/Intercategory(Beamer).pdf

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