#HigherCategoryTheory Indépendance de la théorie des (∞,1)-catégories vis à vis des modèles

Un nouvel article en format « slides «  de Riehl et Verity, à la conférence CT2018:

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ct2018.pdf

A étudier parallèlement à cet autre :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/HoTTEST.pdf

Que sont les modèles de la théorie des (∞,1)-catégories ? Ce sont les ∞-cosmoi, qui sont une axiomatisation de l’idée de quasicatégories , comme il est expliqué page 13 de ce dernier article , ces modèles sont aussi explicités sur le diagramme page 11 avec les flèches entre eux :il est notamment précisé que QCat, l’∞-cosmos des quasicatégories, est la base pour la théorie synthétique de Riehl – Verity des ∞-catégories, et Rezk , l’∞-cosmos des espaces complets de Segal, est la base pour la théorie synthétique de Shulman
Selon le théorème Page 14, QCat, Rezk, Segal (les catégories de Segal) et 1-Comp (les 1-complicial sets de Verity ) sont des ∞-cosmoi.

Ce diagramme est repris page 4 dans l’article de la conférence CT2018:

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ct2018.pdf

Deux voies sont définies à partir de la page 5:

– analytique , dans un seul modèle : Joyal, Cisinski et Lurie dans QCat, Rasekh et Kazdhan-Varhavsky dans Rezk et Simpson dans Segal

– et synthétique, en démontrant des théorèmes valables dans les quatre modèles de la théorie : QCat, Rezk, Segal et 1-Comp

Cela , cette deuxième voie synthétique, correspond à la méthode de Riehl et Verity : axiomatiser dans la notion nouvelle d’ ∞-cosmos, les propriétés communes aux quatre modèles

D’où la définition mathématique d’un ∞-cosmos à partir de la page 7 : c’est une (∞,2)-catégorie , qui est une catégorie enrichie sur les quasicatégories (c’est à dire que les 1-morphismes entre les objets qui sont appelés ∞-catégories, forment des quasicatégories). Dans cette voie on « oublie » les résultats des l’autre voie, appelée « analytique «  ou quelquefois « schématique : ∞- catégorie et ∞- foncteurs ne sont que des noms, des termes techniques désignant les objets d’un ∞-cosmos et les morphismes entre ces objets

Ce schéma rejoint celui, propre à ce qui est appelé sur ce blog « Science internelle », des Idées et de leur « modèles «  mathématiques :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/13/une-seule-et-meme-idee-peut-elle-avoir-plusieurs-formes-plusieurs-modeles-mathematiques/

Cependant il y a ici un risque d’ambiguité : une Idée est autre chose que se modèles ou formes mathématiques, soit ! mais j’ai toujours bien pris soin de préciser q’une Idée ne réfère pas à autre chose qu’elle même : ainsi l’Idée de Dieu est Dieu, ce qui veut dire que Dieu n’est pas un être suprême dont l’homme aurait en plus l’Idée; et cette Idée , la plus haute et la plus importante, à pour mathème (∞,1)Cat l’∞-catégorie de toutes les ∞-catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

C’est l’Idée de Dieu qui est Dieu, mais l’Idée ne se confond pas avec son mathème (∞,1)Cat elle a d’ailleurs un autre mathème qui est Cat la catégorie de toutes les catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

et sans doute d’autres modèles qui n’ont pas encore été trouvés ici.

Mais quelle est cette Idée de Dieu qui ne se confond pas avec ses mathèmes ? On ne peut répondre à cette question qu’avec des mots, or il a été ici reconnu que les « mathemata  »sont meilleurs que les « logoi «  (les mots du langage) pour « parler » des Idées, ne serait ce que parce que celles ci sont mathématiques (nées de la pratique mathématique humaine ) et aussi parce qu’il y a plusieurs langages, mais une seule mathématique universelle.

Cette Idée de Dieu n’est autre que l’Idée de l’Un, c’est à dire l’Un; on peut donc poser :

Dieu = Un

Ce qui semble analogue au verset coranique, premier verset de la sourate 112 :

https://www.yabiladi.com/coran/sourate/112/al-ikhlas.html

Dis : » Dieu est Un »قُلْ هُوَ اللَّهُ أَحَدٌ

mais le Coran diffère profondément de la Torah et de l’Evangile sur le principe d’unité , comme il est expliqué dans cet article :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/01/15/le-principe-dunite-dans-le-coran-et-la-torah/

Il vaut mieux donc se limiter aux mathèmes de l’Idée d’Un présentés ici, à savoir Cat et (∞,1)Cat , et laisser tomber les livres prétendûment « saints et sacrés », sans oublier cependant que le Coran est une imposture historique rédigée par des scribes nazaréens aux ordres des premiers califes:

https://lesobservateurs.ch/2014/10/15/coran-aux-origines-dun-grand-bricolage/

https://ripostelaique.com/briser-les-mythes-de-lislam-le-coran.html

une imposture que j’ai démontrée sans faire appel à l’histoire, qui peut toujours être niée, comme le savent tous les négationnistes :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/demonstration-rigoureuse-de-limposture-du-coran/

Mais revenons à ce prodigieux travail d’Emily Riehl et Dominic Verity sur l’indépendance de la théorie des (∞,1)-catégories vis à vis des modèles et sur les ∞-cosmoi

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ct2018.pdf

Il a été soutenu ici que les Idées sont les ∞-catégories , ce qui est un abus, ou disons une imprécision de langage, puisque cela revient à confondre les Idées et leurs mathèmes, mais restons en à cet élément de langage pour simplifier la suite : si les ∞-cosmoi sont , selon la définition, des (∞,2)-catégories dont les objets sont les ∞-catégories, alors ce sont les mathèmes d’univers d’Idées. Or il n’y a qu’un seul univers d’Idées , c’est ce qui est appelé ici le plan internel des Idées, dont tout ∞-cosmos est un mathème. Une question que l’on peut se poser est la suivante : la réciproque est elle vraie ? c’est à dire : tous les mathèmes de l’Idée du plan internel, à savoir de l’Idée du « monde des Idées » de Platon sont ils des ∞-cosmoi ? je n’en sais rien, mais je souligne que les deux mathèmes déjà trouvés ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

sont des ∞-cosmoi.

A la fin de l’article sur la « model independence » (Page 18 sur 19)

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ct2018.pdf

est évoquée une science ,à élaborer , des ∞-cosmoi que Riehl appelle ∞-cosmology. Ainsi à la cosmologie physique qui est la science de l’Univers :

https://folk.uio.no/arnfinnl/Cosmos%20Furn.%20Motives%20copy%202.pdf

correspond l’∞-cosmologie, science du cosmos spirituel qui est le plan internel.

On parle parfois de plusieurs univers, de plurivers pour l’univers physique , mais pour ce qui est de l’Idée on peut avoir plusieurs modèles mais une seule Idée . Cette unicité est même la marque de l’Idée , voir cet article à propos du travail de Barwick et Schommer-Pries : «  unicity of the homotopy of higher categories »

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

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