#HigherCategoryTheory : Grandis, Paré : intercategories as a framework for three dimensional category theory

https://arxiv.org/pdf/1412.0212.pdf

https://www.mscs.dal.ca/~pare/IntercatIIsf.pdf

Il s’agit d’un article plus poussé, fondé sur les découvertes du travail analysé dans l’article précédent:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/07/14/highercategorytheory-marco-grandis-et-robert-pare-intercategories/

Une autre version de cet article séminal sur la notion d’intercatégorie:

https://www.mscs.dal.ca/~pare/Intercategory(Beamer).pdf

La page des intercatégories, qui contient le lien vers les deux aicles de Parés et Grandis:

https://ncatlab.org/nlab/show/intercategory

Le point de départ du second article, étudié ici, est le résultat obtenu dans le travail précédent, à savoir trois présentations équivalentes de l’idée d’intercatégories : comme pseudocatégories dans les 2-catégories LxDbl et .

Une intercatégorie peut être vue comme deux catégories doubles ayant en commun une catégorie horizontale; les catégories doubles elles mêmes peuvent être vues comme deux catégories ayant les mêmes objets; au total les intercatégories représentent l’extension des catégories doubles à la troisième dimension, avec les cubes, qui sont les 3-morphismes, reliant les 2-morphismes qui sont des carrés, à deux dimensions.

La figure Page 3 présente un tel cube, les faces sont des 2-morphismes et les arêtes des morphismes, les sommets du cube sont des objets (0-morphismes). Il y a trois sortes de morphismes, trois sorte de carrés, mais une seule sorte de cube, avec trois sortes de composition : horizontale, verticale et transversale. La composition transversale est stricte, les deux autres faibles, avec des égalités à un isomorphisme près .

Les trois sortes de composition pour les morphismes sont notées (°,*,.).
L’interchangement (interchanger) est donné par la formule :

χ : (αºβ) * (γºδ) → (α*γ)º(β*δ)

χ est un 3-morphisme, reliant des carrés, un cube, d’une sorte spéciale (voir Page 4)

En paragraphe 2.1 les intercatégories sont identifiées à des caégories duoidales

https://ncatlab.org/nlab/show/duoidal+category

Ce sont des caégories avec deux produits tensoriels reliés par des équations, sous forme de morphismes.
On peut aussi les voir (section 2.2) comme des sortes de matrices dans une catégorie monoidale (munie d’un produit tensoriel)

En 3 page 10, les intercatégorie sont identifiées à des doubles catégories monoidales , étudiées par Shulman :

https://arxiv.org/abs/1004.0993

https://arxiv.org/abs/0706.1286

https://arxiv.org/pdf/0706.1286.pdf

La suite de l’article étudie une large palette de structures tri-dimensionnelles qui toutes peuvent rentrer dans le cadre des intercatégories.

Je rappelle ce que j’ai déjà précisé : l’intérêt pour la théorie tri-dimensionnelle des catégories, qui a son cadre naturel dans les intercatégories, provient de ce qu’il n’y a pas une seule dualité philosophique (entre plan vital-ontologique et plan internel-hénologique ) mais trois, qui sont les trois « oppositions fondamentales «  de Brunschvicg dans « Raison et religion » : entre Moi vital et Moi spirituel, entre monde imaginaire et monde véritable et entre Dieu anthropomorphique et Dieu vraiment divin ( c’est à dire entre Dieu imaginé comme un Seigneur, un chef, et Dieu comme Idée de Dieu )

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/05/19/brunschvicgraisonreligion-les-oppositions-fondamentales-moi-vital-ou-moi-spirituel/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/03/brunschvicgraisonreligion-seconde-opposition-fondamentale-monde-imaginaire-ou-monde-veritable/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/14/brunschvicgraisonreligion-troisieme-opposition-fondamentale-dieu-humain-ou-dieu-divin/

Ces trois dualités renvoient à trois axes orthogonaux d’une sphère, rappelant la sphère sénaire d’Abellio, qui peuvent être vus comme les trois sortes de morphismes d’une intercatégorie : 1-morphismes, 2-morphismes (carrés plans ) entre ces 1-morphismes et cubes , ou 3-morphismes entre les carrés comme 2-morphismes ( un cube peut être vu comme un morphisme entre deux de ses faces)

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