Homotopical trinitarianism : a perspective on #HoTT

https://home.sandiego.edu/~shulman/papers/trinity.pdf

Le rapprochement , pages 4 et 5, du trinitarisme chrétien et des différentes trinités païennes n’est à mon avis pas (uniquement ) de la provocation.

Pages 7 et 8 est cité Bob Harper :

https://existentialtype.wordpress.com/2011/03/27/the-holy-trinity/

http://www.cs.cmu.edu/~rwh/

http://axisofeval.blogspot.com/2011/03/computational-trinitarianism.html

https://news.ycombinator.com/item?id=13051057

La Trinité chrétienne est exprimée par le diagramme triangulaire page 4 sur 80, la dualité entre Père et Fils est au dessus du point unificateur Saint Esprit : au total on a un triangle tête en bas.

Lui correspond le triangle de la « computational trinity «  pages 7 et 8 , qui est la véritable « Sainte Trinité » puisque la Mathesis est la science de l’Un, ou héno-théologie, alors que les dogmes de la métaphysique « religieuse «  ne sont que des mythes sublimés incapables de s’élever au dessus du plan vital .

Au sommet du triangle Page 7 se trouve la logique et la dualité du côté opposé est celle entre langages et catégories. N’oublions pas que Leibniz identifiait logique et Mathesis universalis, c’est à dire Science internelle :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/08/04/la-mathesis-universalis-de-leibniz/

Page 8 sur 80 , le triangle devient celui des mathématiques, sommet opposé au côté reliant la syntaxe et la sémantique.
Enfin à partir de la page 9 le triangle prend sa forme complète : la syntaxe, en bas à gauche , devient « Holy computation » et la sémantique est celle des categories. Mais surtout les trois côtés du diagramme triangulaire se voient associer des étiquettes : le côté de la formalisation relie mathématiques et « computation » c’est à dire que les mathématiques sont formalisées dans la théorie des types. Le côté du bas est celui de l’interprétation : la théorie des types est interprétée dans la sémantique des catégories. Et le côté à droite, reliant mathématique et catégories, est celui de l’internalisation : les théories mathématiques sont internes à des catégories structurées.
Un exemple est donné page 11 :

La définition (ensembliste) de la structure de groupe peut être catégorifiée , ce qui donne la définition d’un groupe dans la théorie des catégories : un seul objet, et les morphismes de cet objet à lui même correspondent aux éléments du groupe, l’élément neutre est le morphisme identité, tout morphisme a un inverse, donc est un isomorphisme.

Page 12 la place est laissée à HoTT, et « mathematics » devient « homotopical mathematics »

Dans ce travail d’Emily Riehl :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/HoTTEST.pdf

le triangle de « Homotopical trinitarianism » réapparaît aux pages 3 à 6 sur 34.

Le dernier diagramme triangulaire page 6 ne fait que résumer sous forme diagrammatique la théorie synthétique des ∞-catégories aux pages 12 et 13 sur 34. Un ∞-cosmos est l’axiomatisation de la catégorie qCat des quasicatégories , qui est une (∞,2)-catégorie : c’est le sens de la fléche du diagramme page 6 allant de qCat à ∞-cosmos

https://hottandphilosophy.wordpress.com/2018/08/01/emily-riehl-foundations-of-∞2-category-theory/

Dans la théorie synthétique en quoi consiste le travail de Riehl et Verity une ∞-catégorie est un objet d’un ∞-cosmos défini axiomatiquement , c’est le sens de la flèche entre ∞-cosmos et le sommet « ∞-categories «  suivie d’une flèche « Cat of structures » ramenant à qCat.

Il y a quatre modèles d’∞-cosmos :

qCat: ∞-cosmos des quasicatégories qui est la base de la théorie synthétique des ∞-catégories de Riehl et Verity

Rezk :les espaces complets de Segal, base de la théorie synthétique des ∞-catégories de Riehl et Shulman

Segal : ∞-cosmos des catégories de Segal

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+for+Segal+categories

https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+category

1-Comp : ∞-cosmos des « weak complicial sets »

https://arxiv.org/abs/math/0604416

Passer à :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ct2018.pdf

où les quatre modèles sont récapitulés page 4 sur 19

Indépendance vis à vis du modèle : par les foncteurs appelés « cosmological biequivalence «  page 17 sur 19 , ces flèches permettent de transférer de modèle à modèle des théorèmes prouvés de manière analytique.

Parmi les références le « draft book in progress »

Elements of ∞-category theory

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/elements.pdf

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