#ScienceInternelle La thèse des modèles mathématiques ou mathèmes d’une Idée

Sur ce blog, j’ai commencé par affirmer que toutes les Idées sont des créations humaines et sont « mathématiques », c’est à dire selon moi nées de la pratique mathématique depuis les Grecs.
Puis j’ai tempéré cette thèse, qui peut apparaître comme de « l’impérialisme mathématique », sous l’influence d’ailleurs des travaux de mathématiciens sur la notion de « modèle « : Emily Riehl et Dominic Verity , avec notamment la notion des ∞-cosmoi comme « modèles » des ∞-catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/25/riehl-verity-infinity-category-from-scratch/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/28/∞-cosmoi-riehl-verity-fibrations-and-yonedas-lemma-in-an-∞-cosmos/

https://arxiv.org/pdf/1608.05314.pdf

« l’axiomatisation de cette notion d’ ∞-cosmos peut être rendue plus générale et que la notion utilisée dans l’article que nous étudions ici est « plus faible » et que des « affaiblissements « plus importants sont possibles. Ceci doit nous servir à distinguer entre l’Idée d’ ∞-cosmos , qui est Une, et son explication (axiomatisation, schématisation ) mathématique, qui peut varier, ce qui n’empêche pas une Idée d’être mathématique, c’est à dire émergeant de la pratique mathématique. Et cette observation vaut pour toutes les Idées, les ∞-catégories, qui sont les « habitants » de ces Univers d’Idées que sont les ∞-cosmoi.

Mais le plus important dans ce travail est que la théorie élaborée est indépendante du choix du modèle (quasicatégories, espaces de Segal, etc..) comme Riehl et Verity y insistent « 

https://math.mit.edu/conferences/talbot/2018/syllabus.pdf

Tout est déjà dans ce schéma, qui encore une fois est propre aux recherches mathématiques de Riehl, Verity et d’autres chercheurs, comme Julia Bergner qui parle de « trois modèles pour la notion de théorie homotopique des théories de l’homotopie :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/04/julia-bergner-model-structures-for-∞1-categories/

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

Indépendance et unicité de la théorie ( qui deviendra dans ma terminologie l’Idée ) vis à vis du choix du « modèle «  parmi la pluralité des modèles, qui sont des objets mathématiques concrets : pour Julia Bergner la catégorie SC des catégories simpliciales, ainsi que celle des espaces complets de Segal CSS ou Segal les catégories de Segal ; pour Riehl et Verity ce sont ce qu’ils appellent des ∞-cosmoi , qui sont des (∞,2)-catégories avec des propriétés supplémentaires, et ils en dénombrent quatre principaux : QCat ∞-cosmos des quasicatégories, CSS (qu’ils appellent aussi Rezk) ∞-cosmos des espaces complets de Segal (ou Espaces de Rezk) , Segal ∞-cosmos des catégories de Segal et l’∞-cosmos des « naturally marked simplicial sets ». Mais le principal article qui m’a poussé à modifier mes conceptions est celui de Barwick et Schommer-Pries :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/13/une-seule-et-meme-idee-peut-elle-avoir-plusieurs-formes-plusieurs-modeles-mathematiques/

Je cite :

« Une Idée , dans cette optique , n’est pas mathématique, ce sont ses « modèles « qui le sont : je parlais au début de mathèmes, je reprends cette pratique. L’important est que l’on puisse raisonner sur les Idées ou leurs modèles au moyen des mathématiques, une Idée n’est pas un simple « flatus vocis », un assemblage de mots , de logoi.« 

Un exemple important crucialement est celui de l’Idée de Dieu, dont deux mathèmes ont été découverts ici : Cat, catégorie de toutes les catégories, et (∞,1)Cat, ∞-catégorie de toutes les ∞-catégories
Mais comment peut on parler d’une Idée selon cette thèse ? Pas par des logoi, cela manque de rigueur et ouvre la voie à toutes sortes d’imprécisions et donc d’erreurs , par exemple dans le cas de Dieu la déchéance ontologique de l’Idée sur le plan de l’Etre , bref cela amène à rester au niveau du Dieu anthropomorphique et à ne pas pouvoir monter au niveau du Dieu- Idée véritablement divin:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/14/brunschvicgraisonreligion-troisieme-opposition-fondamentale-dieu-humain-ou-dieu-divin/

mais on ne parle pas de l’Idée en termes mathématiques non plus : ce sont ses modèles dont on parle ainsi.

Au total , on ne peut pas parler de l’Idée, et c’est l’aphorisme de la fin du Tractatus de Wittgenstein qui doit s’appliquer : » ce dont on ne peut parler, il faut le taire »

Seulement il y a ici une contradiction : car j’ai parlé de l’Idée, pour dire qu’elle est unique et possède des modèles mathématiques.

La notion de « modèle «  est associée à la notion purement mathématique de « catégorie modèle «  (« model category structure »)

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

et la relation entre les « modèles » et l’Idée dont ils sont les modèles est une relation mathématique :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/13/une-seule-et-meme-idee-peut-elle-avoir-plusieurs-formes-plusieurs-modeles-mathematiques/

« Selon le diagramme de l’article de Barwick et Schommer-Pries, les six « modèles « de la théorie SI (comme Science Internelle, qui est aussi bien théorie des (∞,1)-catégories que théorie homotopique des théories de l’homotopie ) sont des catégories qui ont une structure de « model category » et sont liées par des équivalences de Quillen, c’est à dire des paires de foncteurs adjoints « 

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/11/barwick-schommer-pries-la-categorie-qcat-des-quasicategories-comme-modele-pour-la-theorie-de-lhomotopie-des-categories-superieures/

Ce que nous appelons ici l’Idée , c’est l’∞-catégorie des ∞-catégories qui est un objet purement mathématique :

(∞,1)Cat

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)Cat

et ce que nous appelons ses « modèles «  ce sont les six « catégories modèles «  du diagramme suivant :

liées entre elles par des équivalences de Quillen

https://ncatlab.org/nlab/show/Quillen+equivalence

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