Nicola Gambino : cours II homotopical algebra

Venant à la suite du cours I :

https://hottandphilosophy.wordpress.com/2018/09/02/cours-i-de-nicola-gambino-sur-hott-type-theory/

le cours « homotopical algebra «  est ici :

http://www1.maths.leeds.ac.uk/~pmtng/Slides/HoTT-Lecture2.pdf

La première partie est consacrée aux « catégories modèles «  ( model category) cadre mathématique pour l’homotopie :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Model_category

On dit qu’un morphisme p dans une catégorie possède la « Right lifting property » par rapport à un morphisme i, ce qui expliqué sur le diagramme de la page 5 sur 24 :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lifting_property

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Homotopy_lifting_property

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy%20lifting%20property

https://ncatlab.org/nlab/show/lift

i 􏰄 p

si pour tout diagramme en carré comme sur la page 5 il existe un morphisme diagonal faisant commuter le tout

Des exemples sont donnés page 6

Dans la catégorie Set si i est une application injective (monomorphisme ) et p une application surjective (épimorphisme ) alors i 􏰄 p

Une fibration de Hurewicz est définie sur le diagramme page 6 dans Top , catégorie des espaces topologiques. Si X est réduit à un point, on parle de path lifting property.

Un article sur les fibrations de Hurewicz dans les topos élémentaires faisant le lien avec les tribus de Joyal : Un topos de Hurewicz est une tribu (« type theoretical tribe « )

https://arxiv.org/pdf/1608.02509.pdf

Les « weak factorisation systems » sont définis page 8 sur 24.

https://ncatlab.org/nlab/show/weak+factorization+system

Un exemple en est dans la catégorie Set la partition (Inj, Surj) où Inj dénote les applications invectives et Surj les applications surjectives.

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/factorization.pdf

Voici la thèse de Paige North « Type theoretic weak factorisation systems »

https://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/265152

Finalement page 9 sur 24 on en vient aux structures de modèles définies sur une catégorie C, c’est à dire trois classes de morphismes (Weq, Fib, Cof) : les équivalences faibles (weak equivalences), les fibrations et les cofibrations.

Weq a la propriété 3-for-2 (voir diagramme page 9 ) et les structures de modèles sont liées aux W F S (weak factorisation system):

(Weq ∩ Cof, Fib ) est un WFS

(Cof, Weq ∩ Fib) est un WFS

Toute catégorie peut être vue comme une catégorie modèle , les équivalences faibles étant les isomorphismes (fléches inversibles), et les fibrations et cofibrations étant toutes les flèches .

La catégorie Top admet deux structures de modèle voir Page 10.

Un objet X est dit Fibrant si X → 1 est une fibration (1 l’objet terminal) et cofibrant si 0 → X est une cofibration ,0 étant l’objet initial.

La partie II est consacrée aux groupoides qui sont les catégories où toutes les flèches sont des isomorphismes (c’est à dire inversibles) .Tout groupe peut être vu comme un groupoide à un seul objet, les groupoides forment une catégorie notée Gpd . Cette catégorie admet une structure de catégorie modèle, Weq étant les équivalences, Fib étant les isofibrations définies page 15 et Cof étant les foncteurs injectifs sur les objets.

Enfin la partie III porte sur les ensembles simpliciaux qui sont ici de vieilles connaissances :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

Un ensemble simplicial est un préfaisceau, c’est à dire un foncteur contravariant :

Δop → Set

Δ étant la catégorie simpliciale dont les objets sont les suites finies [n] et les morphismes les applications préservant l’ordre.

Les ensembles simpliciaux peuvent être vus comme des espaces (Page 19)

Ils forment une catégorie SSet qui comme toute catégorie de préfaisceaux est un topos

Exemple page 20 :le nerf d’un groupoide est un ensemble simplicial.

Le topos SSet admet une structure de modèle (Page 23) où les objets fibrants sont les complexes de Kan, qui sont des quasicatégories vérifiant certaines conditions :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/18/riehlverity-scienceinternelle-∞-categories-quasicategories/

« Résultat important : une quasicatégorie X est un complexe de Kan si et seulement si Ho(X) , la catégorie d’homotopie, est un groupoide.« 

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