#ScienceInternelle la catégorie duale de Set : AntiSet #ChuSpaces

Les espaces et catégories de Chu ont déjà été évoqués ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/03/05/scienceinternelle-15-chuspaces-les-espaces-de-chu/

« On s’intéressera notamment au paragraphe “Stone gamut ” qui montre une échelle de “rigidité” des différentes catégories, depuis la catégorie la moins rigide et la moins structurée qui est Set ( c’est précisément pour cette raison que nous lui donnons ici le rôle de sol, de plancher “ontologique” , situé le plus bas, le plus loin du plan de l’Idée) . Les ensembles sont comparés au sable, pour leur “caractère granulaire” et “flexible” , les algèbres de Boole sont au sommet de l’échelle pour la rigidité et les espaces vectoriels au milieu. quant aux espaces de Chu, ils occupent à peu près la totalité de l’éventail:

https://math.stackexchange.com/questions/980933/what-is-the-opposite-category-of-set

https://mathoverflow.net/questions/23361/construction-of-opposite-category-as-a-structure

AntiSet est équivalente à CABA, là catégorie des «  complete atomic boolean algebras »

“Sets are unstructured objects, like an unfurnished house. Structure has traditionally been provided in ad hoc ways according to need, like adding sofas and beds for a residence or desks and computers for an office. Mathematics furnishes its objects with operations to form algebras, relations to form relational structures, or topology to form topological spaces….

Chu spaces provide an elementary way of furnishing sets with structure that subsumes all the principal structuring techniques currently in use, both elementary and sophisticated. In so doing they remove the walls that divide up mathematics into its categories, and introduce many new structures previously unknown to mathematics, to create a new, universal, and homogeneous mathematical landscape. Every mathematical object is representable as a Chu space whose transformability is fully faithful to the transformability of the object it represents.

The extant mathematical categories tend in practice to group objects by stiffness. Sets are the most flexible, having the granularity of sand. Vector spaces are in the middle: picture a block of rubber. Boolean algebras are the stiffest….

…Chu spaces are important to the foundations of mathematics because they demonstrate that when one has stepped back to view the mathematical landscape from a sufficient distance, a global symmetry appears, duality, that is not apparent when standing inside any particular category. This is like the difference between natural numbers and integers: with the former there is no operation of negation, which only springs into existence to create a symmetry when the view is broadened to include the negative numbers…
…We are therefore dealing with the duality of points and states. Now it is eminently reasonable to think of points as physical and states as mental. This would make duality for Chu spaces a sort of duality between the mental and the physical.”

A l’extrémité opposée à Set sur l’échelle selon la granularité , se trouve AntiSet , aussi notée Setop la catégorie opposée (opposite categoryà Set, ayant les mêmes objets et pour morphismes A → B les fonctions entre ensembles mais dirigées en sens inverse :

f : B → A

Un anti-ensemble est une sorte de trou d’être (définition 2), avec une cardinalité négative :

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00853859v2/document

Les espaces de Chu « occupent «  la quasi totalité de l’échelle entre -1 ( catégorie Set, les ensembles comparés à du sable ) et +1 ( AntiSet, les algèbres de Boole) parce qu’ils «  réalisent « toutes les catégories concrètes et petites ( les morphismes sont un ensemble):

http://boole.stanford.edu/pub/embed.pdf

La catégorie Chu est ainsi un exemple de catégorie universelle au sens de Pultr et Trnkova:

http://www.numdam.org/article/CTGDC_1993__34_3_239_0.pdf

https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/105052/CommentatMathUnivCarol_007-1966-2_4.pdf

c’est à dire une catégorie K telle que toute catégorie petite est isomorphe à une sous catégorie pleine (full subcategory) de K.

Le papier crucial de Vaughan Pratt est celui sur « Stone Gamut »:

http://boole.stanford.edu/pub/gamut.pdf

C’est à dire une distribution bidimensionnelle ( deux axes) de toutes les structures mathématiques. Le premier axe est celui de la cohérence , c’est l’échelle qui oppose les ensembles (-1) aux algèbres de Boole et à AntiSet (+1) et le deuxième axe est celui de la complexité du langage.

Ainsi la construction de Chu , née de la théorie des catégories et d’une réflexion approfondie sur la notion de dualité, permet de «  voir «  l’extension de la totalité des mathématiques :

https://ncatlab.org/nlab/show/Chu+construction#Shulman17

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