Théorie des catégories internes et modèles de la participation à l’être et à l’Un

Je reviens sur les deux mathèmes définis dans l’article précédent :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/12/21/brunschvicgprogresconscience-analyse-ascendante-ou-participation-a-lun-et-synthese-descendante-ou-participation-a-letre/

Il y a un problème évident , c’est que si l’être est dual de l’Un, on devrait retrouver cette dualité dans les catégories obtenues comme mathèmes de la participation à l’un et de la participation à l’être. Or ce n’est pas le cas; une catégorie duale d’une autre est obtenue en inversant le sens des flèches.

Ici, on passe du groupe vu comme catégorie dans la participation à l’un au cadre de la participation à l’être selon le slogan simplifié : « les objets deviennent les morphismes « 

C’est à dire que les éléments du groupe deviennent les morphismes de la catégorie à un seul objet qui est la version catégorique du groupe dans la modélisation de la « participation à l’un »

Or dans la théorie interne :

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+category#internal_category

nous quittons complètement la théorie ensembliste : l’ensemble des morphismes devient un objet noté M dans une catégorie générale qui n’est plus forcément la catégorie Set des ensembles.
On passe de la participation à l’être à la participation à l’un selon le slogan vu plus haut : « les objets deviennent les morphismes »

C’est à dire que l’objet O des éléments du groupe comme objets devient l’objet M des éléments vus comme morphismes.

Est ce que O est purement identique à M?

Non, dans le premier cas O (participation à l’etre ) ce sont des objets , dans le second cas, de la participation à l’un, ce sont des flèches. On ne peut pas identifier les deux.

Par contre O est, non pas identique, mais isomorphe à M : les éléments comme objets se composent selon la lo de composition * du groupe, et les morphismes associés selon le prduit des morphismes .

L’isomorphisme postulé réclame que si f et g sont les morphismes associés aux éléments u et v , alors f°g est associé à u*v

C’est cela la signification de l’isomorphisme :

O ≊ M

Nous dirons alors que deux catégories internes sont duales l’une de l’autre si l’objet O des objets de la première est isomorphe à l’objet M des morphismes de la seconde :

O ≊ M

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Internal_category

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