Participation à l’un et participation à l’être : les mathèmes

Le désespoir nihiliste d’une violence incroyable décrit par Philippe Jaccottet dans « L’obscurité » :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/01/04/lobscurite-de-philippe-jaccottet-rien-nest-vrai-rien-nest-hormis-le-mal-de-le-savoir/

résulte de la prise des conscience de la condition mortelle et emporelle de l’être humain; à la fin du récit le Maître diagnostique :

« C’est seulement le temps qui m’a vaincu »

« Le temps courait comme le feu dans l’herbe »

https://unedemeuresouterraineenformedecaverne.wordpress.com/2015/02/26/lobscurite-et-la-condition-temporelle-de-lhomme/

Mais il est impossible à l’être humain de se soustraire à sa condition , sauf dans les vains rêves de la religion ou du « faux idéalisme » , qui ferait de l’âme une « substance détachée du cours de la durée » :

«il ne s’agit plus pour l’homme de se soustraire à la condition de l’homme. Le sentiment de notre éternité intime n’empêche pas l’individu de mourir, pas plus que l’intelligence du soleil astronomique n’empêche le savant de voir les apparences du soleil sensible.« 

« Le salut est en nous » et passe par un changement du regard, une metanoia, une « conversion »:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/quelques-citations-eparses-de-brunschvicg-particulierement-eclairantes-voire-illuminatrices/

« il est malaisé de décider si l’armée des vivants peut avoir l’espérance, suivant la magnifique image que nous a proposée Bergson, de « culbuter la mort« ; mais, puisque le salut est en nous, n’est il pas assuré que l’armée des esprits débouche dans l’éternité, pourvu que nous ayons soin de maintenir à la notion d’éternité sa stricte signification d’immanence radicale ? « 

« Nous nous affranchirons du temps simplement vital, dans la mesure où nous en découvrirons la racine intemporelle. La vie, nous savons trop qu’elle est sans pitié pour les vivants. Elle peut se définir comme l’ensemble des forces qui résistent à la mort….. jusqu’à l’inévitable dénouement qui la révèle comme l’ensemble des forces qui acheminent à la mort….. « 

https://paroissereformeevaldetravers.wordpress.com/2016/12/05/changez-de-comportement-car-le-royaume-des-cieux-sest-approche-matthieu-3-1-12/

«  Changez de comportement car le Royaume des cieux s’est approché ! »

Le royaume des cieux c’est ce que j’appelle ici plan internel ou plan spirituel de l’Idée : et la conversion, la metanoia proposée consiste à changer l’orientation intérieure, vers le plan spirituel de l’unité et non plus vers le monde de la multiplicité. Seulement l’Un n’est pas l’un séparé mais « immanence radicale « , « présence d’unité «  dans une conscience. Cette conversion véritable s’oppose à n’a fausse conversion religieuse comme la participation à l’un à la participation à l’être ainsi que le précise Marie Anne Cochet , la meilleure interprète de Brunschvicg dans son livre de 1937 « Commentaire sur la conversion spirituelle dans la philosophie de Léon Brunschvicg « :

« Le porteur du jugement doit donc encore se libérer de la fixité dans la chose jugée s’il ne veut pas se représenter et présenter aux autres un mirage encore. Son jugement n’est jamais que la courte halte sur la route qui mène vers un jugement plus vrai, car la vérité n’est jamais épuisée, puisqu’elle manifeste le pouvoir unificateur de l’esprit qui ordonne un multiple, inépuisable aussi. Esprit-vérité….cette notion de vérité, acte de présentification en dehors duquel rien n’existe, ne doit pas rester confuse. Malgré le dédoublement qui résulte du passage du présent éternel au présent chronologique essentiellement fuyant, il ne s’agit pas d’un dualisme car rien n’est séparé dans l’acte spirituel. Il ne s’agit pas non plus d’un monisme, la notion d’un tout accomplissant justement cet arrêt qui trahit l’acte de l’esprit…. la réalisation de l’Un séparé est aussi exclue que celle du Transcendant, dont elle est l’expression.Seule la participation à l’unité en acte est requise. Elle est justifiée par l’inévitable et nécessaire présence de ce qui pense et de ce qûi est pensé , par leur dépendance étroite et mutuelle… il n’y a donc ni dualisme ni monisme mais spiritualisme perpétuellement offert à la vérification d’une expérience soumise à la vérité du rapport »

Tout le mouvement de conversion spirituelle repose donc dans la dualité des notions platoniciennes de participation à l’un et participation à l’être qu’il faut éclairer par des idées claires et distinctes que j’appelle ici mathèmes.J’ai déjà tenté une telle recherche :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/12/22/theorie-des-categories-internes-et-modeles-de-la-participation-a-letre-et-a-lun/

mais je m’aperçois qu’un ancien article participe à la meme visée , en opposant la théorie mathématique des ensembles et la théorie des catégories :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Inspiré par un travail d’un vaste intérêt de David Ellerman qui démontre que la théorie des ensembles est le cadre mathématique des universaux abstraits alors que la théorie des catégories est celui des universaux concrets :

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

Ce David Ellerman se présente comme économiste, pas comme mathématicien mais l’importance de ses travaux est telle qu’il faut aller jeter un coup d’oeil à sa page :

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/AboutDavidEllerman.htm

Où l’on peut lire certains de ses livres consacrés à l’économie et d’autres articles mathématiques, notamment sur la notion d’hétéromorphisme et sur l’adjonction de foncteurs . J’ai déjà consacré des articles à ses travaux comme:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/mac-lane-bourbaki-et-la-theorie-de-ladjonction/

https://principiatoposophica.wordpress.com/2016/01/05/david-ellerman-theorie-heteromorphique-de-ladjonction/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

L’une de ses affirmations ressemble à celles de Leibniz sur la Mathesis universalis comme téléscope permettant de contempler les Idées comme en astronomie une lunette permet de mieux voir les galaxies :

« Le rôle fondationnel de la théorie des catégories consiste à nous pourvoir de « lunettes ou lentilles conceptuelles » propres à nous faire voir en le caractérisant précisément ce qui est naturel et universel dans les mathématiques« 

https://coranetmathesis.wordpress.com/leibniz-mathesis-universalis/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/08/04/la-mathesis-universalis-de-leibniz/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/mathesis-universalis-et-pansophie/

Mais allons voir d’un peu plus près l’article sur les universaux concrets dans la théorie des catégories :

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

Ellerman commence par un texte qui explique qu’un universel concret représente l’essence d’une propriété et en est un exemple « parfait » : tous les autres objets possédant la propriété participent de où ressemblent à cet universel concret. Tous ces autres exemples de la propriété ont des « imperfections » , mais il existe un procédé de purification qui permet d’enlever ces scories et lorsqu’on a enlevé toutes ces « imperfections «  on arrive à l’essence de la propriété , c’est à dire à l’universel concret.

Ellerman donne un exemple précis de ces imperfections emprunté au cadre ensembliste.La propriété F consiste pour un ensemble X à être contenu à la fois dans un ensemble À et à un ensemble B. l’intersection A ∩ B de À et B est un exemple concret de la propriété car cet ensemble est contenu à la fois dans A et B et c’est un universel car tout ensemble ayant la propriété «  participe » à A ∩ B c’est à dire est contenu dans A ∩ B ( c’est une condition nécessaire et suffisante c’est à dire qu’un ensemble X possède la propriété si et seulement si X participe à À ∩ B. Étant donné un ensemble X qui a la propriété une imperfection de X est un ensemble Y qui a la propriété mais n’est pas contenu dans X. On peut définir une relation d’ordre qui est simplement la relation d’inclusion entre les sous-ensembles De A ∩ B : si X et Y ont tous les deux la propriété d’être contenus dans A ∩ B , alors Y est dit « plus essentiel » que X si X ⊂ Y ( X contenu dans Y , ce qui signifie : tout élément de X est aussi élément de Y). Le procédé de purification cherché est alors clair : étant donné deux ou plusieurs sous – ensembles de A ∩ B, on obtient un ensemble « plus essentiel «  que tous ces sous-ensembles en prenant leur union, qui est aussi un sous- ensemble de À ∩ B.
Cet exemple est intéressant, en ce sens qu’il échappe aux controverses de ce que David Ellerman nomme « third man argument «  en relation avec le problème de la « self predication  » : est ce que la blancheur est blanche ? Est ce qu’il y a un « Un séparé du multiple de tous les objets blancs » , une sorte de super-blancheur , «  One over the Many «  comme l’ appelle Ellerman dans le texte page 2 , par quoi tous ces objets sont blancs ? En d’autres termes est ce que l’universel correspondant à la propriété d’être blanc est séparé (abstrait) ou compris parmi les autres objets blancs (universel concret, qualificatif autoprédicatif)? Dans l’exemple proposé ci dessus, cet universel , qui exemplifie l’essence de la propriété « être contenu à la fois dans A et B » est :

A ∩ B

Ensemble qui possède la propriété d’être contenu à la fois dans A et B, c’est donc un universel concret.

Dans le développement réel de la connaissance mathématique , des paradoxes sont apparus au début du 20 eme siècle , dont l’exemple archétypique est le paradoxe de Bertrand Russell :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox

Étant donnée une propriété P , est il possible de former l’ensemble de tous les objets ayant cette propriété ? Si oui, soit P la propriété , pour un ensemble :

« Ne pas être élément de lui même « 

Soit R l’ensemble de tous les ensembles ayant cette propriété, alors on aboutit à une contradiction . Car est ce que R est élément de R ? Si oui , alors R n’est pas élément de lui même, puisque c’est la définition de la propriété qui caractérise les éléments de R. Si non, alors R ne possède pas la propriété P , donc R est élément de lui même ( car dans le cas contraire R aurait la propriété P) . Donc pour résumer : si R s’appartient à lui même, R ne s’appartient pas à lui même ; si R n’appartient pas à lui même , alors R appartient à lui même . Contradiction. Cela signifie que l’on n’a pas forcément le droit de former l’ensemble de tous les objets ayant une certaine propriété P.

Ceci a forcé à refonder la théorie des ensembles , ce qui a été fait pour aboutir au système d’axiomes ZF de Zermelo- Fraenkel ( Badiou l’explique dans «  l’Etre et l’événement » ) :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel

ou bien , dans une autre direction, le système NBG de Godel- Bernays-Von Neumann , où l’on distingue les ensembles des classes qui sont des ensembles « plus grands » que les ensembles ordinaires :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

Il y a une classe de tous les ensembles, qui n’est pas un ensemble.

Cette reconstruction de la théorie pour éliminer les paradoxes, qui naissent tous de la possibilité d’autoprédication, a renforcé le caractère abstrait de la notion d’ensemble et à entraîné la théorie dans la direction de « théorie des universaux abstraits » comme la caractérise Ellerman . D’ailleurs intuitivement nous reconnaissons bien que l’ensemble des objets blancs n’est pas blanc !

La vertu insigne du travail d’Ellerman est de montrer qu’il existe une théorie mathématique des universaux concrets : c’est la théorie des catégories, inventée en 1945 par Eilenberg et Mac Lane :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

Fixons les notations :
Une propriété F se voit associer un universel uF qui la représente.

On a en outre une relation de participation μ :
L’objet x participe à l’universel uF est noté : x μ uF

La condition d’universalité que doit satisfaire uF pour être un universel associé à la propriété F est :

Pour tout x , x μ uF Si et seulement si (équivaut à ) F(x) ( x à la propriété F)

ProprIétr’ d’unicité à une équivalence près : un universel représentant la propriété F doit être unique à une équivalence près, c’est à dire que si uF et vF sont deux universaux pour une même propriété F, ils doivent être reliés par une relation d’équivalence :

uF ≈ vF

Une théorie mathématique est une théorie des universaux si elle possède une relation de participation μ et une relation d’équivalence ≈ et que certaines propriétés se voit associer des universaux respectant les conditions d’universalité et d’unicité expliquées ci dessus.
Un universel uF est dit concret s’il participe à lui même :

uF μ uF

universel abstrait dans le cas contraire.

La théorie des ensembles est la théorie des universaux abstraits (Page 5)

L’universel abstrait ensembliste associé à une propriété F est l’ensemble des objets x ayant cette propriété . La relation de participation est la relation d’appartenance ⋳ de la théorie des ensembles.

Page 9 Ellerman aborde la théorie des catégories comme théorie des universaux concrets. La relation de participation μ est la relation de factorisation unique : x participe à u s’il existe un unique morphisme f :

f : x → u

ce qui se lit : x se factorise de manière unique à travers u .
La relation d’équivalence utilisée dans la condition d’unicité est un isomorphisme ( qui en théorie des catégories est un morphisme inversible) : deux universaux pour une même propriété F doivent être isomorphes c’est à dire reliés par un couple de flèches constitué par un morphisme et son inverse. En théorie des catégories tout objet possède de par les axiomes un morphisme identité donc tout universel u est auto-prédicatif de par ce morphisme identité qui lui est associé:

1u : u → u

Tout universel se factorise de manière unique par lui même, par ce morphisme identité. La théorie des catégories est la théorie des universaux concrets.

Il y a encore bien d’autres choses dans cet article passionnant , notamment page 10 « universals as essences » . J’y reviendrai .
Il s’agit là d’une opposition tranchée entre les deux théories , il n’est plus question de considérer la théorie des ensembles comme un cas particulier de catégories où il n’y a pas de flèches entre les objets différents . Les ensembles sont les 0-catégories, les catégories sont les 1- catégories.

Il y a un exemple de philosophie actuelle qui oppose les deux théories c’est celui d’Alain Badiou : la théorie des ensembles de ZF est ce que la philosophie apppelle depuis Aristote « ontologie » , c’est à dire la pensée de l’être en tant qu’être. Badiou accorde aux catégories ( en fait aux topoi ) le domaine de la logique, c’est à dire non pas l’être, mais l’apparaitre dans un monde . Il ne parle pas une seule fois de la différence des deux cadres mathématiques en tant que théories des universaux abstraits et concrets.
L’orientation prise ici est bien différente : les deux théories , des ensembles et des catégories, sont selon moi les modèles mathématiques de la participation à l’être et de la participation à l’un . C’est à dire que si l’on se contente, comme Badiou, à rester dans le cadre de l’ontologie ou en mathématiques de la théorie des ensembles, on reste dans le schéma de la participation à l’être , avec toutes les conséquences décrites par Brunschvicg à la fin de « Progrès de la conscience dans la philosophie occidentale » et dans « Héritage de mots héritage d’idées «  fin 1943, deux mois avant sa mort :

« Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène« 

Méditer l’ Être c’est penser de manière ontologique , selon l’universalisme abstrait des ensembles; méditer l’Un c’est penser dans le cadre des universaux concrets qui est la théorie des catégories et des ∞-catégories , c’est à dire des mathèmes des Idées , comme je l’ai montré ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

Mais Badiou rejette l’Un , qu’il veut mettre à bas, par répulsion envers le « vieil idéalisme chrétien » et je ne vois que trop bien à quoi cela le mène : à la surestimation de la politique , donc du monde notamment . Mais il confond l’Un comme principe intellectuel-spirituel de la philosophie, l’Un comme « immanence radicale » et l’Un séparé identifié à Dieu, c’est à dire l’utilisation idéologique de l’Un par l’Eglise ou par les différentes oppressions religieuses , qui ont motivé le discours libérateur du
Contr’un.

Pourtant Badiou vient de publier « L’immanence des vérités «  qui est le volume 3 de son système, après « L’être et l’événement «  et « Logique des mondes ».

L’unité correspond àl’essence même de l’esprit , qui consiste à établir des rapports : comme le dit André Simha dans son « Manifeste pour l’autonomie » en introduction au livre de Brunschvicg en 1901 : «  Introduction à la vie de l’esprit »:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/06/22/individuation-universel-et-liberte-le-manifeste-pour-lautonomie-dandre-simha/

«  Il n’y a rien à chercher dans l’esprit au delà de l’unité.
C’est le fondement infondé de l’esprit : celui ci n’a pas à chercher la raison de sa volonté d’unité , il est unification…

…s’il y a un écart entre un esprit et l’unité, c’est qu’il s’agit précisément d’un esprit individuel et c’est parce que l’individualité exclut la pureté et la perfection de l’unité achevée. »

La chouette de Minerve ne prend son envol qu’à la montée de la nuit : la théorie des ensembles surgit des travaux de Cantor au 19 eme siècle, la théorie des catégories naît en 1945 . C’est à dire qu’avant l’humanité ne disposait pas des mathèmes , des idées claires rendant intelligibles participation à l’être et participation à l’un : ceci n’explique t’il pas l’ affirmation de Brunschvicg à la fin de son livre :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/progres_conscience_t2/brunschvicg_progres_conscience_t2.doc#c23_s3

« Conclusion négative, pour une théologie de la participation à l’être selon l’absolu imaginaire de la synthèse ; conclusion positive pour une philosophie de la participation à l’un selon le progrès continu de l’analyse, et qui ne prendrait une apparence d’incomplétude et de déception que si l’on n’était point parvenu à faire un strict départ entre les exigences de l’une et de l’autre conception. Lorsqu’on rêve encore d’une philosophie transcendante à la vérité de la science, d’une religion transcendante à la vérité de la philosophie, il est inévitable que l’on continue à laisser s’interférer le langage de ces deux conceptions ; et c’est à ce phénomène d’interférence qu’est dû l’aspect dramatique et tourmenté des vingt-cinq siècles dont nous avons essayé d’esquisser l’évolution intérieure. Au moment où était attendue la plus grande lumière, à la cime de la spiritualité, le maximum d’obscurité s’est produit : nuit mystique, inconscient, néant.« 

Au moment où était attendue la plus grande lumière, c’est à dire au moment où la cime de la spiritualité était en vue pour tout le monde , grâce à l’esprit de vérité entrevu en rêve par Descartes («  il fut assez hardi pour se persuader que c’était l’esprit de vérité qui avait voulu lui ouvrir les trésors de toutes les sciences par ce songe » ) et rendu accessible par l’émancipation spirituelle scientifique . Oui mais il manquait ( avant 1945 ) les outils mathématiques de la pensée : théorie des ensembles et des catégories, permettant de distinguer participation à l’être et participation à l’un, la lumière du jour et la nuit de l’inconscient et du néant .
Ce qui explique que l’armée des esprits dévala la pente , rejetée de la cime de la spiritualité de l’un, vers la théologie de l’être

David Ellerman précise page 3 : «  thé paradoxes of naïve Set theory resulted of trying to be a général theory of universals that could be both abstract and concrete « 

Cela ne fait Il pas écho aux propos de Brunschvicg :

«  et qui ne prendrait une apparence d’incomplétude et de déception que si l’on n’était point parvenu à faire un strict départ entre les exigences de l’une et de l’autre conception.« 

« Lorsqu’on rêve encore d’une philosophie transcendante à la vérité de la science, d’une religion transcendante à la vérité de la philosophie, il est inévitable que l’on continue à laisser s’interférer le langage de ces deux conceptions ; et c’est à ce phénomène d’interférence qu’est dû l’aspect dramatique et tourmenté des vingt-cinq siècles dont nous avons essayé d’esquisser l’évolution « 

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