Cécilia Flori : a topos formulation of history quantum theory

Cet article s’inscrit dans l’approche « topos-theoretical » de la physique thématisée dans l’article précédent :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/15/la-theorie-des-topoi-et-la-physique-topos-physics/

comme aussi le lien donné dans cet article :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/14/these-topos-theoretical-approach-to-quantum-physics/

et vise à commenter la conférence de Cécilia Flori dont le texte est ici :

https://www.cs.ox.ac.uk/quantum/talksarchive/clp7/clp7-ceciliaflori.pdf

Cécilia Flori parle en page 3 du grand article en quatre partie d’Isham et Doering

http://www.cs.ox.ac.uk/people/bob.coecke/Isham.pdf

Elle appelle le théorème de Kochen-Specker une interprétation non réaliste de la théorie quantique

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Kochen–Specker_theorem

https://plato.stanford.edu/entries/kochen-specker/

Il y a en schématisant trois époques dans la montée d’ importance de la théorie des topoi  en physique :les travaux d’Isham et Butterfield à la fin du siècle dernier, le grand article d’Isham et Doering qui a eu une portée révolutionnaire (Badiou dirait que ce fut un événement ) et ce qui vient après, notamment les travaux de Cécilia Flori qui a fait paraître chez Springer deux cours portant sur l’approche toposique de la physique quantique ( a first and second course in topos quantum theory). Or Isham et Butterfield se sont aussi penchés sur le théorème de Kochen-Specker :

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9803055

plus trois autres parties, du point de vue de la perspective toposique

le théorème KS est un théorème négatif (no-go theorem) qui montre l’impossibilité d’assigner des valeurs à toutes les variables d’un système quantique , Isham montre qu’il est équivalent à montrer qu’un certain préfaisceau n’a pas d’éléments globaux.

Selon Cécilia Flori la physique classique est adossée au topos des ensembles Set. Un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets, c’est à dire que la physique part d’un état d’ignorance : lorsque l’observateur newtonien reçoit une pomme sur la tête sous l’arbre, il n’est pas porté à établir un lien avec d’autres chocs précédents. L’unification dans la théorie newtonienne, qui établit qu’il s’agit du même phénomène, la gravitation, qui fait se mouvoir les planètes autour du Soleil, témoigne don d’une force intellectuelle peu commune.

La méthode « topos-theoretical » consiste à remplacer ce topos Set par un autre topos pour passer de la physique classique à la version de la physique quantique sur laquelle Cécilia concentre ici ses efforts , à savoir « history quantum theory ». Je ne connais pas du tout cette théorie, il y a une page Wikipedia sur le formalisme HPO dont part Cécilia Flori pour son exposé :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/HPO_formalism

La page pour la méthode d’approche dite des « histoires consistantes » ( consistent histories) de la physique quantique , est ici :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Consistent_histories

Rappelons qu’un topos est une catégorie qui se comporte de manière analogue à la catégorie Set des ensembles. Pour tout ensemble on peut former ses sous-ensembles, ou parties : l’ensemble X est un sous-ensemble de A si tout élément x  de X est élément de A :

Si x ∈ X, alors x ∈ A

Cela est noté X ⊂ A ( X est contenu dans A, X est une partie de A)

et pour tout ensemble A on peut former l’ensemble P(A) de ses parties.

Dans tout topos on aura donc ce qui est appelé un «  subobject classifier « (classificateur de sous-objets)  permettant de former pour tout objet ses sous-objets , analogues aux sous-ensembles d’un ensemble, et pour tout objet A dû topos on pourra former l’objet des sous-objets de A qui sera un autre objet du topos noté P(A) ( et qui sera appelé le « power object » de A)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Subobject_classifier

Le topos qui remplacera Set sera le topos des  préfaisceaux sur une catégorie C, c’est à dire la catégorie des foncteurs contravariants sur C à destination de Set:

un préfaisceau est un tel foncteur :

Cop ———-> Set

où Cop est la catégorie duale de C  ( foncteurs contravariants)

On montre que la catégorie des préfaisceaux à destination de Set est un topos ; Set est évidemment un topos, il en est l’exemple paradigmatique.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

Ici , la catégorie C dans la construction des préfaisceaux est définie comme la catégorie des sous-algèbres commutatives de B( H), algèbre des opérateurs sur l’espace de Hilbert associé au système quantique étudié.

A partir de la page 9 Cécilia Flori utilise le schéma du grand article d’Isham et Doering, à savoir un objet Σ dans un topos qui est appelé « objet des états » du système étudié : la distinction entre états et observables est courante en physique, les états sont des « états du monde » et les observables sont des grandeurs physique observées.

En physique classique,  une grandeur est représentée par une fonction réelle (prenant ses valeurs dans R) sur l’espace des états; en physique quantique, elle est représentée par un opérateur auto-adjoint sur l’espace de Hilbert associé au système.

En page 11 et 12, Cécilia aborde la « daseinisation » , concept heidegerrien du grand article d’Isham et Doering qui est ici :

https://arxiv.org/pdf/0803.0417.pdf

et qui a déjà fait l’objet d’un article de ma part :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/18/quest-ce-quune-chose-physique-et-theorie-des-topoi-2/

La daseinisation est une notion purement mathématique comme on le voit page 11 de la note de Cécilia et ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/daseinisation

Pourquoi ce nom inspiré du Dasein chez Heidegger ? Je n’en sais strictement rien .

Tout ceci conduit à la notion de topos de Bohr associé à un système :

https://ncatlab.org/nlab/show/Bohr+topos

C’est dans la partie II du grand article en quatre parties  d’Isham et Doering sur Arxiv que le concept de daseinisation  est développé:

https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.2883742

La page 14 revient sur les états : en physique classique c’est un point dans l’espace des états.

Dans la formulation toposique, le théorème de Kochen-Specker équivaut à dire que l’objet « des états » n’a pas de points.  L’analogue des états est alors appelé pseudo-état : c’est un sous-objet de  l’objet des états Σ.

Cécilia Flori s’intéresse aux valeurs de vérité, c’est à dire au fondement qui soutient l’opposition entre monde imaginaire et monde véritable, à partir de la page  15.

Une proposition Q est vue en physique classique  comme un sous ensemble de l’espace des états. Elle est vraie par rapport à un état s si s appartient à Q.

Dans le schéma toposique , il y a une notion de vérité totale et une autre de vérité partielle , cf page  16 , Butterfield en son temps a fait un travail sur la notion de vérité partielle en relation avec la théorie des topoi :

https://propedeutiquemessianique.files.wordpress.com/2015/10/butterfieldtopospartialtruth.pdf

On parle de valeurs de vérités contextuelles, il faut se reporter à la page 9 pour la notion

de contexte.

Par le préfaisceau Σ qui est appelé préfaisceau spectral, un opérateur V se voit associer Σ(V) qui est un ensemble, (puisque le préfaisceau est un foncteur à destination de la catégorie des ensembles) l’ensemble des valeurs propres de V, c’est à dire l’ensemble des résultats possibles de mesures pour le système étudié

La page 17 aboutit à une structure d’algèbre de Heyting pour les propositions et les valeurs de vérité afférentes

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Heyting

La note et l’exposé de Cécilia Flori continue sur le formalisme HPO, mais comme tout cela est techniquement assez touffu , j’y reviendrai après avoir abordé le travail d’Isham et Doering qui nous mène au cœur de la théorie des topoi appliquée à la physique et dont s’inspire fortement Cécilia Flori.

Une bonne introduction au travail d’Isham et Doering est l’article de Mario Tsatsos:

https://arxiv.org/pdf/0803.2361.pdf

 

 

This entry was posted in Categorical quantum mechanics, category theory, Physique, Quantum mechanics, Quantum relativity, Quasicatégories, Relativité, Science, mathesis, Science-internelle, Théorie des topoi (topos theory), topos physics. Bookmark the permalink.