Isham et Doering :a topos approach to the formulation of physical theories

C’est un travail joint d’Isham et Doering qui a révolutionné la physique il y a dix ans, mais il en existe deux exposés, par chacun des deux auteurs :

http://www-lmpa.univ-littoral.fr/CT08/slides/Doering.pdf

Et, par Isham :

http://www.cs.ox.ac.uk/people/bob.coecke/Isham.pdf

Je suivrai, dans cet article du moins, l’exposé de Doering sur 34 pages. Les deux exposés diffèrent par l’importance donnée à certains thèmes.

la citation page 2 est fort drôle, et peut être sérieuse :

» une théorie est quelque chose que personne ne croit, excepté son auteur. Une expérience est quelque chose que tout le monde croit, excepté son auteur » .. sauf qu’on ne croit pas en une théorie comme en une religion : on la comprend ou non.

Page 3 : ce qui est cherché est une unification de la relativité GR et de la théorie quantique QT.

Théorie des cordes et gravité quantique à boucles sont mentionnées comme voies pour cela, avec leurs inconvénients : pas de prédictions testables par l’expérience (« même pas fausses »). Ce qui s’oppose au réalisme est appelé « instrumentalisme » et Doering voit en cela un problème : que le formalisme quantique soit interprété de manière instrumentaliste. Il s’en explique page 4 :

dans l’instrumentalisme l’interprétation du formalisme est indexée sur les observateurs, les actes de mesure.

Or dans la cosmologie quantique QC, la totalité de l’univers est étudiée, considérée comme un système quantique objet du formalisme. Mais quel serait alors l’observateur extérieur au système qui effectuerait les mesures ?

cecilia Flori commence son exposé sur le même argument :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/17/cecilia-flori-a-topos-formulation-of-history-quantum-theory/

Doering en déduit que puisque l’instrumentalisme pose des problèmes philosophiques, il faut retourner à une conception plus réaliste, et c’est ce qu’il espère trouver dans la formulation toposique.

Mais sur ce blog, je préfère l’opposition réalisme-idéalisme qui est philosophiquement plus générale.

D’ailleurs les objections de Quentin  Meillassoux dans « Après la finitude » visent à attaquer l’idéalisme kantien dans son « corrélationisme », à propos aussi de la cosmologie et de ses « énoncés ancestraux » portant sur des époques reculées où la conscience et la vie humaine n’étaient pas encore apparues . Or dans l’idéalisme, il faut selon Meillassoux une existence humaine en même temps (corrélationisme) que les mesures énoncées par la cosmologie .Sinon les énoncés ancestraux n’ont pas de sens dans le cadre de l’interprétation idéaliste. Meillassoux se réfère donc à une interprétation réaliste : au cours de ces époques reculées dans le passé , il n’existait clairement aucun observateur humain pour constater le résultat de mesures, mais les grandeurs avaient réellement de telles valeurs, en accord avec ce qu’affirme la cosmologie de nos jours : si la mesure avait pu être effectuée, elle aurait trouvé ce résultat.

Mais dans l’idéalisme tel qu’il est ici conçu, le corrélationisme n’a pas besoin pour s’exercer d’une contemporéanité stricte entre la mesure et l’intelligence humaine qui interprète le formalisme et ses résultats : l’intelligence humaine peut fort bien, et c’est ce qui est le cas, fonctionner à l’époque contemporaine, et les résultats concerner une époque passée de la Terre, bien avant que la vie humaine soit apparue. Dire que les grandeurs avaient réellement cette valeur dans le passé, et que si la mesure avait pu être effectuée elle aurait abouti à un tel résultat , est la position réaliste, et elle dit quelque chose qui n’a pas de sens. Mais l’interprétation idéaliste dit quelque chose de tout à fait différent : à savoir que c’est une science élaborée à notre époque contemporaine par des physiciens bien vivants et réels qui aboutit à ces résultats qui ne sortent pas d’une mesure hypothétique faite dans ce passé reculé alors qu’il n’existait pas d’observateur humain , encore moins de scientifiques, mais d’une théorie actuelle. « Pas de monde intelligible sans un effort humain d’intelligibilité » : telle est la position idéaliste. L’effort humain d’intelligibilité est actuel , et il porte sur des périodes reculées dans le passé.

Donc la formulation toposique de la QC ne doit selon moi pas être interprétée de manière « réaliste », mais « idéaliste » . L’effort humain pour comprendre le passé de l’univers est contemporain, et consiste à utiliser les découvertes récentes sur les topoi.

le même type d’interprétation idéaliste est possible , et échappe à toutes les objections qui peuvent être faites à propos de l’ouvrage « Our mathematical universe » de Max Tegmark :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/23/la-these-de-max-tegmark-our-mathematical-universe-devient-si-clair-dans-le-cadre-de-louvert/

Dire que l’univers « est » une structure mathématique ne signifie rien d’autre que ceci : dans le cadre d’une théorie physique mathématisée qui résulte d’un effort humain, accompli que des humains vivants pour comprendre l’univers, des structures mathématiques qui sont les modèles humains, les mathèmes d’Idées intelligibles, sont utilisées avec succès. L’Univers véritable est constitué, pas créé,  par ces structures. L’univers imaginaire est l’univers appelé « réel » par les humains et « silence éternel des espaces infinis » par le philosophe Pascal . L’univers véritable des théories physiques est constitué par des modèles mathématiques humains d’Idées, qui ne sont pas des modèles d’un univers réel qui n’est rien d’autre qu’un univers imaginaire.

L’autre problème conceptuel concerne l’utilisation des nombres réels , du « continu » comme il est appelé page 5 , et il motive la recherche d’un nouveau paradigme dans la théorie des topoi page 6.

Ce nouveau cadre est appellé page 6 « néo-réaliste «, dans ce sens qu’il permet  une formulation où il existe un analogue de l’espace des états en physique classique et où les propositions concernant les variables physiques ont des valeurs de vérité indépendantes des actes de mesure et des observateurs. De plus ce cadre est indépendant des nombres réels.

Les pages 7 à 9 reviennent sur la physique classique qui est appelée réaliste  et sur sa logique binaire, « booléenne »: l’espace des états est un ensemble S dont les éléments ou points sont les états du monde. Une proposition A est un sous-ensemble de l’espace des états S, A est vraie si l’état du monde s appartient à ce sous-ensemble, le caractère ensembliste de ce cadre classique conduit à une logique binaire permettant un calcul déductif dans le cadre de la logique booléenne : toutes les propositions ont une valeur de vérité, toutes les variables ont une valeur physique.

les deux pages suivantes 10 et 11 sont consacrées au cadre entièrement différent de la théorie quantique (algebraic quantum theory) : un système est associé à un espace de Hilbert H et une algèbre de Von Neumann N d’opérateurs bornés sur H:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_von_Neumann

où les opérateurs auto-adjoints H ——-> H représentent les grandeurs physiques.

les états sont des fonctionnelles linéaires sur l’algèbre de Von Neumann : N ———> C

Les propositions sont représentées par des opérateurs de projection.

Des états particuliers sont les états vectoriels ( définition page 10). Un état vectoriel Ψ est appelé un état propre  pour l’opérateur À si:

AΨ= a Ψ

La différence (abyssale) avec le cas de la physique classique est que toutes les variables physiques pour un état donné n’ont pas des valeurs définies  : dans le formalisme une variable physique A est représentée par un opérateur auto adjoint noté A^ seules ont des valeurs les variables A dont l’opérateur A ^ a l’état fixé comme état propre.

Une proposition n’ a qu’une probabilité d’être vraie , c’est à dire un nombre réel compris entre zéro et 1, et non plus une valeur de vérité qui est soit 1 ( vraie) soit 0 (fausse) .

Une variable A n’acquiert une valeur définie que par une opération de mesure, mesure qui résulte en un changement discontinu de l’état pour devenir un état propre de A ^

Page 12 Doering le théorème de Kochen – Specker dont parle aussi longuement Cécilia Flori qui s’inspire fortement du travail d’Isham – Doering.

ce théorème célèbre datant de 1967 asserte qu’il est impossible d’assigner des valeurs à toutes les quantité physiques du système.

ceci est équivalent (page 13) à dire qu’il est impossible d’assigner des valeurs de vérité à toutes les propositions.

Aussi ne peut on pas décrire les systèmes quantiques de manière réaliste et utilisant la logique booléenne.

c’est ce qui a motivé l’entrée en scène depuis 1936 de la logique quantique , voir page 14 mais celle ci manque d’un calcul déductif.

D’où la recherche de nouveaux cadres mathématiques, l’idée centrale de l’approche par topos est expliquée page 15:

Étant donné un système quantique, l’idée est de lui associer deux objets Σ et R dans une catégorie qui sera un topos parce qu’à tout topos est associée une logique de type intuitionniste

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Logique_intuitionniste

dépassant et généralisant la logique booléenne dont nous venons de constater les inconvénients s’agissant de systèmes quantiques.

Σ est l’objet des états, dans la catégorie retenue, ce n’est pas forcément un ensemble comme en physique classique.

les sous-objets de Σ représentent les propositions ( en physique classique Σ est un ensemble  dont les sous-ensembles représentent les propositions )

L’autre objet R est l’objet des variables physiques , ce n’est pas forcément le corps des nombres réels malgré son nom.

les quantités physiques sont représentées par des flèches A : Σ ————-> R

Le topos Set des ensembles est celui de la physique classique; le premier pas vers la future théorie de la gravité quantique consistera à chercher un autre topos.

Ainsi la mise en lumière cherchée ici de l’opposition peut se voir comme une étude nouvelle de la théorie des topoi.

Cet article est déjà long et touffu, je reviendrai plus tard au travail en 4 parties l d’Isham et Doering:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/18/a-topos-foundations-for-theories-of-physics-le-grand-travail-en-4-parties-disham-et-doering/

et aux deux exposés qui lui sont consacrés, mais auparavant je préfère clarifier ma méthode.

 

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