Formulation toposique des théories physiques : exposé d’Isham

Par rapport à l’exposé de Doering, portant sur le même article élaboré par ces deux savants, que j’ai commencé à étudier ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/20/isham-et-doering-a-topos-approach-to-the-formulation-of-physical-theories/

L’exposé d’Isham , qui est ici :

http://www.cs.ox.ac.uk/people/bob.coecke/Isham.pdf

est plus orienté vers les problèmes philosophiques.

Ce qui est appelé ,  dans l’exposé d’Isham comme dans celui de Doering,  « réalisme » n’est pas le réalisme dont je parle ici défavorablement comme découlant d’une structure mentale propre aux peuples primitifs d’avant la « ligne de démarcation des temps » au 17ème siècle européen :

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/la-ligne-de-partage-des-temps/

Dans le travail d’Isham et Doering, « réalisme » est opposé à « instrumentalisme » alors que dans ce blog, influencé pour ne pas dire plus par la pensée de Léon Brunschvicg, c’est l’opposition idéalisme-réalisme qui est thématisée comme séparation entre ce qui vient avant la ligne de démarcation et ce qui vient après. On pourrait affirmer que les trois oppositions fondamentales de Brunschvicg :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/07/27/brunschvicgraisonreligion-les-trois-oppositions-fondamentales-ou-les-trois-axes-du-mouvement-de-conversion-spirituelle-dans-raison-et-religion/

1 entre Moi vital et Moi spirituel

2 entre monde imaginaire et monde véritable

3 entre Dieu anthropomorphique ( Dieu à l’image de l’homme de la Bible et du Coran)  et Dieu véritablement divin, qui est l’Idée de l’Un, c’est à dire l’Etendue Intelligible de Malebranche qui est le séjour des Idées

ces trois oppositions sont le développement de l’opposition entre la structure mentale réaliste propre aux peuples d’avant la ligne et la structure mentale idéaliste propre aux peuples européens , héritiers de la mutation philosophique du 17ème siècle.

Dans le cadre de l’interprétation instrumentaliste, un résultat est jugé « vrai si la mesure était faite ». GR est appelée par Isham et Doering dernière théorie classique, et « réaliste «  parce que l’instrumentalisme et la dépendance vis à vis de la mesure pose problème si ce qui est observé c’est l’espace-temps lui même : la longueur de Planck, approximativement 10 puissance (-42) seconde, est souvent appelée « mur de Planck » et traduit sans doute un changement profond dans la nature même du temps. La théorie la plus connue est celle des « causal sets » et  à la fois la théorie des cordes et la gravité quantique à boucles mettent en avant une structure discrète d’où émerge le temps de GR.

Comme l’exposé de Doering, celui d’Isham s’interroge sur l’utilisation à priori des nombres réels en physique et y décèle trois sources :

-Les valeurs des quantités physiques

– les valeurs des probabilités, qui sont des nombres réels situés entre 0 et 1

– Dans les modèles de l’espace et du temps

Les probabilités sont assumées comme réelles dans l’interprétation fréquentiste, comme limites de rapports de nombres d’occurrences, donc comme limites de nombres rationnels. Mais la question se pose aussi dans l’interprétation bayésienne (Page 19)

Le grand problème (Page 20) : adapter le formalisme quantique standard, qui est basé sur l’espace temps Newtonien.

La page suivante 21 porte sur le réalisme de la physique classique : un état à une valeur ontologique . Ceci s’effondre dans la physique quantique, à cause du théorème de Kochen- Specker. Il n’y a pas de niveau ontologique, comme façon dont est le monde.

Un système de la physique classique se voit assigner une variété symplectique

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Symplectic_manifold

Par contre dans le formalisme quantique c’est un espace de Hilbert ; Michel Bitbol a montré que ceci répond à des théorèmes très généraux .

Dans un cadre catégorique (Page 26) S se voit associé un objet Σ dans une catégorie , et une proposition un sous-objet de Σ. Problème : dans une catégorie générale, les sous-objets n’ont pas de structure logique, sauf si la catégorie est un topos, c’est à dire se comporte comme la catégorie Set des ensembles (logique booléenne) . Dans Un topos général, on aboutira à une logique intuitionnisme, non booléenne

ceci est spécifié page 27 : 0 et 1 désignent l’objet initial et l’objet terminal , qui existent dans tout topos ainsi que les pullbacks et les pushout , en français produit fibré et coproduit fibré (dual du produit

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Produit_fibré

L’exponentiation d’un objet B par un autre À permet de former l’objet des flèches de A vers B :cela existe dans tout  topos, de même que dans Set on peut former l’ensemble des fonctions de A dans B.

une manière plus simple est de dire que dans tout topos «  les limites finies existent «  ; car objet initial ou terminal ( qui sont en dualité), produit fibré et coproduit, et exponentielle sont des exemples de limites finies.

page 28 : dans tout topos la collection des sous-objets d’un objet forme une algèbre de Heyting , notion plus générale englobant les algèbres de Boole :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Boole_(logique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Heyting

De même cf page 28 , les éléments globaux , c’est à dire les flèches dirigées de l’objet terminal 1 vers l’objet Ω appelé dans « Logiques des mondes » objet transcendantal forment un objet ΓΩ qui a une structure d’algèbre de Heyting. Cela permet de former la négation , dans toute algèbre de Heyting, mais cette logique est intuitionniste, c’est à dire que le tiers exclus ne fonctionne pas forcément et que la double négation n’est pas forcément l’affirmation.

Les mathématiques du néo-réalisme sont abordées page 30,31 on retrouve la notion de vérité partielle déjà expliquée par Doering ; la notion de valeur de vérité (0 ou 1) cède la place à une « valeur de vérité généralisée » dans l’algèbre de Heyting.

Page 31 : tout système quantique S est associé à un topos  T particulier et. la théorie de S est formulée dans ce topos.

une quantité physique A  est représentée par une flèche entre deux objets spéciaux de ce topos :

A : Σ ————> R

les propositions sont représentées par des sous objets de l’objet spécial Σ, qui ont une structure d’algèbre de Heyting.

l’objet-vérité Ω dans Le topos, qui est appelé par Badiou objet transcendantal et qui est le classificateur de sous objets du topos  :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topos_(mathématiques)

se voit associer ΓΩ ( objet des éléments globaux) qui contient les valeurs de vérité dés propositions .

La physique classique correspond au topos Set, la théorie quantique ou tout autre non classique correspondra à un autre topos.

Comme tout topos peut être considéré comme fondation des mathématiques, le changement de topos correspondant au passage de la physique classique à une autre peut être vu comme passage d’une mathématique classique à une autre.

Les pages suivantes 35 à 38 cherchent l’analogue toposique de la notion d’état du monde ( state)

Le paragraphe V « Formal   languages »explique la manière de procéder d’Isham-Doering de manière élégante .

un langage formel L( S) est attaché au système S que l’on étudie et bâtir une théorie de S équivaut à chercher une représentation de ce langage dans un topos.

Le langage formel dépend du système  mais c’est la représentation qui dépend du type de la théorie (classique ou quantique )

On  étudie les traductions du langage formel du système dans le langage interne du topos.

le langage formel L(S) contient (Page 42):

– un symbole formel Σ versant linguistique de l’objet – état du topos

– Un symbole formel R versant linguistique du second objet, celui représentant les quantités physiques.

– Un ensemble de « symboles de fonction » Σ——->R représentant linguistique des quantités physiques

– un symbole Ω représentant linguistique du classificateur de sous-objets du topos

Ce langage formel est typé, c’est à dire comprend des types, sur le modèle de ce que nous avons vu ici sur #HoTT:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/09/27/hott-the-book-product-types-dependent-pair-types-ou-σ-type/

En plus des quatre types précédent , il y a un « constructeur » ( Set builder)  noté {x, ω}qui est, si x est une variable de type T, un terme du type PT, et ω est un terme de type Ω

(si T est un type, c’est à dire un objet du topos associé à S, alors on peut former le type PT, comme pour tout objet du topos)

Le topos associé est donc celui des préfaisceaux (c’est à dire des foncteurs dirigés vers Set) sur la catégorie des sous-algèbres commutatives de l’algèbre B(H)  des opérateurs bornés  sur l’espace de Hilbert H attaché au système étudié.

L’objet associé au symbole linguistique Σ est appelé « préfaisceau spectral » ( voir page 45 sur 46)

le théorème de Kochen Specker a comme forme équivalente :

»le préfaisceau spectral n’a pas d’éléments globaux, c’est à dire qu’il n’y a pas de flèches dirigées depuis l’objet terminal 1 vers Σ) »

Par le foncteur qu’est le préfaisceau Σ un ensemble est associé à toute sous algèbre commutative de l’algèbre des opérateurs bornés B(H). Cet ensemble Σ(V) est le spectre des opérateurs de V

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Spectre_d%27un_opérateur_linéaire

Le préfaisceau spectral prend la place de l’objet des états (state object) qui n’existe pas puisqueles éléments globaux n’existent pas, selon la forme condensée du théorème KS

Le symbole linguistique R est représenté par un objet du topos, noté R> . C’est un préfaisceau ; dans tous les topoi, on peut définir un NNO (natural number object ) et un RNO (réal number object) qui sont les analogues de N et R (entiers et réels ) pour le topos Set ; le préfaisceau R> n’est pas le RNO du topos des préfaisceaux considéré.

La dernière page 46 résume les conclusions. Représenter le langage formel L( S) consiste à associer à tout symbole linguistique, ou type, du langage un objet du topos des préfaisceaux.

c’est sur ce point que s’établit la distinction entre la physique classique, pour laquelle Le topos est Set, et la physique non classique, pour laquelle c’est un autre topos qui est associé au système étudié ( Un topos de préfaisceaux pour la physique quantique ). On pourrait résumer cela en très gros en disant que « faire de la physique, c’est faire de la théorie des topoi »

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