Début d’ étude de la thèse de Tore Dahlen : topos-theoretical approach to quantum physics

Cette thèse de 162 pages est très importante, parce qu’elle va au delà des travaux d’Isham et Doering :

https://www.duo.uio.no/bitstream/handle/10852/10735/ToreDahlen-Thesis.pdf?sequence=1&isAllowed=y

on apprend en l’étudiant attentivement des tas de choses nouvelles à la fois sur la théorie purement mathématique des topoi et sur la physique

Le cadre de la #Toposphysics est à mon sens le meilleur pour le Graal poursuivi par les chercheurs du monde entier : l’unification de la Relativité et de la physique quantique, car il se fonde sur le principe même  qui émerge de la relativité einsteinienne : l’´identité du mathématique et du physique :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/05/leon-brunschvicg-la-relation-entre-le-mathematique-et-le-physique/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/04/leon-brunschvicg-les-conditions-du-progres-spirituel-dans-la-theorie-de-la-relativite/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/06/02/la-geometrodynamique/

et l’étude patiente de travaux comme ceux de Tore Dahlen ,  Christopher Isham ou Doering (ou Butterfield au siècle dernier)  est la voie tout indiquée pour progresser dans ce cadre physico- mathématique qui pourrait se décrire comme  géométrodynamique et topoi.

Le chapitre 1, auquel cet article se limitera, rappelle en section 1.1  la distinction entre logique des systèmes classiques et logique des systèmes quantiques .

le modèle, pour un système classique ou quantique, comprend trois ensembles :

– S ensemble des états

– O ensemble des observables

-R ensemble des résultats possibles de mesure pour un observable dans un certain état. Une observable peut être vue comme une classe d’équivalence d’appareils de mesure : deux observables sont dits équivalents s’ils font la même mesure, indépendamment de l’état du système ; deux états sont dits égaux si aucun appareil de mesure, c’est à dire aucun observable, ne permet de les distinguer.

Dans la physique toposique, cela devient des objets dans un topos, et si celui ci est Set on retrouve nos trois ensembles: Historiquement la physique classique  à été associée au topos Set :on n’en connaissait pas d’autre. Ce n’est qu’à partir des travaux de Grothendieck après 1950, puis de Lawvere, que l’humanité a inventé ou découvert l’idée de topos ainsi que d’autres topoi que Set : la notion de « physique des topoi », qui est à mon avis le càndidat le plus sérieux pour une « théorie de Tout », n’a pu apparaître et se frayer un chemin que bien après, dans les années 1980, avec les premiers travaux d’Isham-Butterfield. Et l’intérêt majeur de cette thèse de Tore Dahlen est qu’elle vient après et qu’elle permet de suivre l’évolution de ces premiers travaux, jusqu’au grand travail d’Isham-Doering et après :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/20/isham-et-doering-a-topos-approach-to-the-formulation-of-physical-theories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/18/a-topos-foundations-for-theories-of-physics-le-grand-travail-en-4-parties-disham-et-doering/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/27/formulation-toposique-des-theories-physiques-expose-disham/

Dans le cas le plus simple de la physique newtonienne , une seule particule, une seule dimension d’espace, c’est à dire une ligne, l’espace des états S sera l’espace de configuration de tous les doublets (q,p) où q est la position de la particule, c’est à dire une valeur réelle et p= mv est le « moment » de la particule de masse m. Cette physique classique (petit nombre de particules) est déterministe, c’est à dire que les conditions initiales et les équations du mouvement déterminent les valeurs des états dans l’avenir. C’ est le principe déterministe de Newton page 9 du texte de la thèse de Tore Dahlen.

L’espace des états S est constitué par toutes les valeurs possibles de (q,p), c’est à dire R^2, dans le cas de n particules se mouvant dans l’espace à trois dimensions c’est R^6n.

L’équation du mouvement est , si l’on note l’accélération par a :

ma = p° = F ( q,p)  où p° est la dérivée par rapport au temps de p=mv

c’est une équation différentielle du second ordre. ( équation 1.1 page 9)

Dans le cas de l’oscillateur harmonique page 10, on a F(q,p) = -kq l’énergie potentielle U du système est alors la primitive de F ,  U= kq^2/ 2, F = – ∂U/∂q , l’énergie totale Edu système est T+ U où T est l’énergie cinétique T=mv^2/2  , on voit alors que E est constante: dE/dt =0

E= H( q,p) est ce que on appelle hamiltonien du système, il existe deux formes de la mécanique classique : lagrangienne et hamiltonnienne :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Lagrangien

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Mécanique_hamiltonienne

Tore Dahlen appelle cette section 1.1 de sa thèse « a kind of pons  asinorum »

La section 1.2 est consacrée à la logique des systèmes quantiques. Dans ce cas des systèmes de particules à l’échelon microscopique, les observables sont toujours la position q et le moment p d’une particule, mais ils ne commutent plus c’est à dire que l’on a plus : pq =qp

Ce ne sont donc plus des fonctions à valeurs réelles

S l’espace des états est un espace de Hilbert H, O espace des observables devient l’espace des opérateurs auto-adjoints sur H

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Opérateur_adjoint

Ces opérateurs   ( qui sont des endomorphismes H—-> H) ont des valeurs propres réelles

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Valeur_propre_(synthèse)

Le principe d’incertitude de Heisenberg s’applique :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Principe_d’incertitude

c’est à dire que pour tout couple de variables conjuguées comme la position p et le moment q :

Δp. Δq >= h~/2 où h~ désigne la constante de Planck réduite ou constante de Dirac

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck

La physique classique s’obtient par la physique quantique où l’on fait tendre h vers 0, ou bien où l’on remplace Le topos associé par le topos Set «  classique ».

La différence majeure entre théorie quantique et classique est que les observables pour un système quantique n’ont plus de valeurs certaines, mais des probabilités de prendre certaines valeurs qui correspondent aux valeurs propres de l’opérateur A  qui représente l’observable. La formule qui donne la probabilité est donnée page 11 de la thèse :

P(a)= ⌈≺a ∣ ψ≻⌉^2

où ψ est le vecteur  de l’espace de Hilbert représentant l’état du système et a est le vecteur propre correspondant à la valeur propre a de l’opérateur A associé à l’observable : les valeurs propres représentent toutes les valeurs possibles que peut prendre l’observable , la probabilité qu’ il prenne une valeur a est donnée par la formule ci dessus,  c’est une valeur réelle comprise entre 0 et 1 comme toute probabilité. Le principe d’incertitude asserte que toute précision accrue dans la mesure de la position se solde par une imprécision accrue dans la mesure du moment ( de la vitesse, puisque p=mv) .

Je vais m’arrêter là pour aujourd’hui, il faut revenir souvent à cette thèse remarquable, sans vouloir brûler les étapes, ce que nous cherchons ici est cette « science avec conscience «  qui évite la catastrophe de la « ruine de l’âme » qui est la techno science sans conscience, visant uniquement la performance et l’efficacité qui a hélas supplanté la science à l’époque contemporaine.

Il faut savoir se hâter lentement ou comme dit Rimbaud

L’Eternité

« Science avec patience,
Le supplice est sûr.«

ou comme dit Mallarmé :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/06/12/le-probleme-religieux-de-la-voie-mediane-conciliation-du-monisme-et-du-dualisme-et-sa-solution-dans-le-poeme-de-mallarme-prose-pour-des-esseintes/

« Car j’installe, par la science,
L’hymne des coeurs spirituels
En l’oeuvre de ma patience,
Atlas, herbiers et rituels. »

 

 

 

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