#ShaggySteedOfPhysics dualité onde-corpuscule et fonction d’onde

l’ouvrage de David Oliver « The shaggy steed of physics » a été présenté ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/04/22/david-oliver-the-shaggy-steed-of-physics/

l’ouvrage explique  la dualité entre mécanique classique et mécanique quantique comme celle du ciel et de l’élémentaire (Beavers of classical mechanics, quantum mechanics : the elements)et présente page 140 et suivantes la fonction d’onde, dispositif mathématique au cœur de la physique quantique ( ch « Quantum mechanics : the elements).

Quand l’électron interagit avec un objet dont l’échelle est bien plus vaste que celle de la longueur d’onde associée à l’électron, celui ci agit comme une particule ponctuelle ; par contre quand l’objet possède une dimension d’échelle comparable ou plus courte, l’électron se comporte comme une onde.

Une onde élémentaire de fréquence ω se propageant dans la direction du vecteur k , est représentée par une fonction d’onde de la forme :

ψ (x,t)=A exp (i ( k.x – ωt))

où l’on rappelle que exp (ia)= cos a +i sin a.

si la particule est identifiée à une onde, la fonction d’onde de celle ci doit être équivalente à ce qui représente en mécanique la dynamique de la particule, à savoir ce qui est appelé « action »

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Action_(physique)

L’action de plusieurs mouvements indépendants est égale à la somme des actions.

La fonction d’onde représente une probabilité ; et donc la probabilité d’une somme de processus indépendants est égale au produit des probabilités de ces  parties si elles sont indépendantes. Cela signifie que l’identité entre la fonction d’onde ψ et l’action S est une identité entre fonction multiplicative et additive, donc que la fonction d’onde doit être une fonction exponentielle de l’action :

ψ = A exp ( iS/h)

où h est une constante naturelle (ce sera la constante de Planck)

ce passage est intéressant car il révèle l’identité du mathématique et du physique qui est selon Brunschvicg le cœur de la relativité d’Einstein :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/05/leon-brunschvicg-la-relation-entre-le-mathematique-et-le-physique/

L’identification entre les deux équations ci dessus pour la fonction d’onde conduit à :

S = h ( k.x – ωt)

d’où

∂S/∂x = hk et ∂S/∂t  = -hω

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Dérivée_partielle

Or en mécanique hamiltonienne :

∂S/∂x = p ( le moment mv = mdq/dt ) et ∂S/∂t = -H (l’énergie)

d’où l’on tire l’expression de la fréquence et du vecteur direction de propagation de l’onde associée à une particule de moment p et d’énergie H :

ω = H/h et k = p/ h

c’est là ce qui est appelé « dualité onde-corpuscule » et qui dérive du schéma mathématique de la fonction d’onde.

l’ouvrage de David Oliver parle de « révolution quantique «  qui peut être considérée comme « une transfiguration de la mécanique classiqueen laquelle des quantités mesurables comme le moment ou l’énergie ne sont plus considérés comme des fonctions mathématiques ordinaires de points dans l’espace temps mais comme des opérateurs  : une observable est un opérateur sur l’espace de Hilbert des états.

La nature mathématique de ces opérateurs moment et énergie peut être déduite de l’expression exponentielle de la fonction d’onde comme vu plus haut :

(-ih ∂/∂x) ψ = pψ et (ih ∂/∂t )ψ = Hψ

les opérateurs moment et énergie sont donc :

p^ ≡ -ih ∂/∂x  et H^ ≡ ih ∂ /∂t

L’application de ces deux opérateurs à la fonction d’onde est simplement la multiplication par la valeur observée de p ou de H

p^ψ = pψ

H^ψ= Hψ

En mécanique classique, les quantités observées se comportent mathématiquement comme des variables algébriques ; en mécanique quantique elles se comportent comme des opérateurs.  Toute particule se voit associer par la physique de De Broglie une longueur d’ondes , si celle ci est négligeable devant l’échelle du mouvement alors on est dans la mécanique classique, les opérateurs cèdent la place à des variables. La mécanique quantique peut donc être vue comme la théorie fondamentale du mouvement, ayant la mécanique classique  comme cas particulier pour les grandes longueurs d’ondes.

A toute quantité mécanique A est associé l’opérateur quantique A ^ dont l’opération sur la fonction d’onde est donnée par la multiplication par A  :

A^ ψ = Aψ

De même pour les opérateurs associés à l’espace et au temps :

x^ = x et t^ = t

Par contre les opérateurs associés au moment , ou impulsion :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Quantité_de_mouvement

et à l’énergie sont différentiels :

p^= -ih ∂/∂x et H^=ih∂/∂t

L’énergie cinétique fait intervenir le carré  du moment . L’opérateur quantique correspondant  fera intervenir les dérivées partielles secondes, ce sera le laplacien, avec un facteur multiplicatif à déterminer:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Opérateur_laplacien

et les équations de Hamilton- Jacobi en mécanique classique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équations_de_Hamilton-Jacobi

seront le cas limite de l’équation  de Schrödinger, en mécanique quantique :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équation_de_Schrödinger

https://www.ljll.math.upmc.fr/publications/2010/R10046.pdf

http://www.phys.ens.fr/~hare/FIP/Meca_anal_Hare_2007.pdf

Ceci est associé au formalisme bra-ket  de Dirac :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Notation_bra-ket

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Postulats_de_la_mécanique_quantique

où l’espace des fonctions d’onde est l’espace L^2 des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable .

L’espace de Hilbert des états est dans ce formalisme l’espace vectoriel des Kets. A une fonction d’onde ψ est associé le ket :

∣ψ≻

dont le dual est le bra

≺ψ∣

Et l’équation dite de normalisation des fonctions d’onde s’écrit très simplement :

≺ψ∣ψ≻ = 1

 

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