Volovitch : number theory as the ultimate physical theory

Cet article, qui peut être lu ici :

https://pdfs.semanticscholar.org/938d/f21cddf480c8d001be5e5a54ac20a41e5388.pdf?_ga=2.118165184.816751500.1560863709-297617124.1560863709

se revendique comme «  pythagoricien », mais nous savons que le pythagorisme a été le dernier champ de lutte entre les « mathématiciens » et les « acousmatiques » , c’est à dire entre les plus extrêmes formes de la « crédulité théosophique » et l’atteinte de «  vérités » appelées « théorèmes «   fondée sur des démonstrations rigoureuses . Ce schisme a abouti au 17 eme siècle européen à la distinction entre l’esprit scientifique fondé sur la vision des Idées en l’Etendue Intelligible grâce aux lunettes de la « mathesis universalis « :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/08/04/leibniz-la-scienceinternelle-ou-mathesisuniversalis-comparee-a-un-telescope-pour-contempler-les-idees/

et la gematria ou numérologie kabbalistique ou abjadique confondant les « mythèmes «  déguisés en mathèmes avec les véritables modèles mathématiques des Idées Intelligibles :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/10/05/les-mythemes-deguises-en-mathemes/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/10/09/retour-sur-mathemes-mythemes-et-logoi/

Leibniz lui même n’est pas très clair sur ce sujet, puisque les entités de la Mathesis universalis peuvent être conçues comme des « Nombres », ce qui ouvre la voie à un retour à l’esprit théosophique du pythagorisme  caractérisé par Léon Brunschvicg dans « Le Progrès de la conscience »:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/progres_conscience_t1/progres_conscience_t1_intro.html

»Il est à remarquer que le conflit des tendances n’est pas resté à l’état latent : il y a eu, sans doute vers la fin du Ve siècle, un schisme dans la Société pythagoricienne, et qui a mis aux prises Mathématiciens et Acousmatiques. Ceux-ci (et les expressions dont se sert M. Robin sont tout à fait significatives), « pour conserver à l’Ordre une vie spirituelle, parallèle à celle de l’Orphisme et capable de la même force d’expansion ou de résistance, s’attachèrent avec une passion aveugle à l’élément sacramentel et mystérieux de la révélation, à des rites et à des formules : les Acousmatiques ont voulu être des croyants et des dévots. Les autres, sans abandonner formellement le credo des premiers, en jugèrent l’horizon trop étroit : ils voulurent être, et eux aussi pour le salut spirituel de leur Ordre, des hommes de science. Mais cela n’était possible qu’à la condition de renoncer à l’obligation du secret mystique et de justifier rationnellement des propositions doctrinales. Aux yeux des dévots, ces savants étaient donc des hérétiques. Mais ce sont eux, hommes de la seconde génération pythagorique, qui ont transformé en une école de philosophie l’association religieuse originaire. C’est pourtant celle-ci, réduite à ses rites et à ses dogmes, qui a survécu jusqu’au réveil néo-pythagoricien. » (Op. cit., p. 67.)

Ainsi, dans l’évolution du pythagorisme se sont succédé ou se sont juxtaposées les formes extrêmes de la sagesse humaine et de la crédulité théosophique, correspondant elles-mêmes aux limites idéales du mouvement que nous nous proposons d’étudier dans le présent ouvrage. Toutefois, étant données l’incertitude et la confusion de notre information historique, pythagorisme et néo-pythagorisme demeurent comme au seuil de la conscience occidentale. » 

cette ambiguité n’est pas évitée dans l’article de Volovitch , qui est pourtant  un savant irréprochable mais formule ses thèses en début d’article , dans l’Abstract, en semblant accorder la préférence aux « Nombres » sur les « structures » :

» à l’échelle de Planck, la notion habituelle d’espace- Temps peut être considérée comme douteuse… et dans cet article les entités fondamentales composant l’univers ne sont plus des entités spatiales comme particules, cordes ou champs, mais des nombres »

ambiguité levée à la fin Page 85 , où l’on n’en lit pas moins :

»la version contemporaine du programme d’Einstein  devrait proposer  de réduire la physique à la géométrie sur des corps de nombres arbitraires ; cela signifie la réduction de la physique à la théorie des Nombres. On peut s’accorder avec les Pythagoriciens selon lesquels la compréhension de l’univers passe par la compréhension des nombres »

cette vision peut être mise en rapport selon nous avec les thèses de Max Tegmark :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/06/05/max-tegmark-le-multivers-univers-paralleles/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/09/21/les-mythemes-ou-concepts-du-discours-correspondent-a-ce-que-max-tegmark-appelle-le-bagage-sciences-veritables-et-pseudo-sciences/

Pour le dire simplement : retenir uniquement l’idée de nombre au détriment de celle de structure peut empêcher l’esprit humain de « poser ses bagages » («  luggage «  terme retenu par Tegmark pour caractériser ce que j’appelle ici « mythèmes »)

 

Dans l’arborescence ci-dessus . où Tegmark décrit la montée des théories vers la postulée « théorie de tout » , on ne voit d’ailleurs pas la théorie des Nombres («  number theory »), qui est pourtant un domaine réel des mathématiques, dont l’arithmétique est il me semble caractérisée comme « reine », mais qui est ici disséminée entre les divers champs de disciplines physiques où elle joue un rôle indéniable. Pour reprendre les termes de Volovich :

»si ces idées sont vraies, alors la théorie des nombres, et les branches  correspondantes de la géométrie algébrique, ne sont rien d’autre que la dernière théorie physique unifiée »

et la dernière phrase de l’article , citant Dirac:

https://pdfs.semanticscholar.org/938d/f21cddf480c8d001be5e5a54ac20a41e5388.pdf?_ga=2.118165184.816751500.1560863709-297617124.1560863709

»j’ai appris à me méfier de tous les concepts physiques pour fonder une théorie;  à la place il faut accorder sa confiance à un schéma mathématique, même s’il ne paraît pas à première vue connecté avec la physique. La signification physique doit suivre la mathématique »

Dans le corps de l’article, la compréhension des phénomènes à l’échelle de Planck impose d’abandonner la géométrie sur le corps des nombres réels pour passer aux corps de nombres p-adiques qui sont des corps Qp (pour chaque nombre p premier 2,3,5,7,etc..) obtenus par une procédure de complétion, comme R le corps des nombres réels est obtenu par complétion du corps Q des nombres rationnels, qui est le corps des fractions des entiers relatifs de l’anneau Z.

voici le texte d’un exposé de Dragovitch sur la théorie des cordes p-adiques :

https://www.sissa.it/tpp/activity/conferences/SFT2014/talks/Dragovich.pdf

https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9904360.pdf

 

Quand Volovitch parle de nombres, il s’agit donc de nombres p-adiques, appartenant à l’un des corps Qp, qui sont caractérisés par une topologie non classique, non-archimédienne, basée sur une norme ultramétrique  (Page 8 sur 27) , où toutes les boules sont à la fois ouvertes et fermées . L’axiome archimédien dit en gros et intuitivement que toute distance finie peut être couverte par un nombre fini de pas, ce n’est plus vrai avec une distance ultramétrique, pour une topologie non-archimédienne.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ultrametric_space

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Non-Archimedean_ordered_field

Les travaux de physique des topoi (Isham, Doering) :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/06/14/debut-d-etude-de-la-these-de-tore-dahlen-topos-theoretical-approach-to-quantum-physics/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/27/formulation-toposique-des-theories-physiques-expose-disham/

Là aussi l’utilisation a priori des nombres réels est remise en question à l’échelle du « mur de Planck », le corps des nombres réels pour les résultats de mesures est généralisé par un objet R dans un topos général,  il n’est donc pas question de retour en arrière vers le pythagorisme avec les dangers de confusion avec les doctrines numérologiques, mais de retour vers le futur de la théorie des catégories et des topoi.

Le corps K auquel la théorie physique est adossée peut être infini ( c’estle cas de R les réels, C les nombres complexes ou Q lesnombres rationnels) ou fini ( c’est le cas des corps Fp dont les éléments sont les résidus 0,1,p-1 modulo p c’est à dire le reste dans la division par p, p nombre premier). Il peut être ordonné (R ou Q) ou non ( C ou les corps Qp de nombres p-adiques ). Volovitch émet , au paragraphe 5 page 84  , sous le nom de « fluctuation quantique » ( «  quantum fluctuations of the number fields) une hypothèse qui peut sembler « folle »  : c’est que le corps K varie («  fluctue ») de manière aléatoire !

 » en vertu d’un principe général, on peut considérer que les paramètres physiques subissent des fluctuations quantiques. Il est donc normal de penser que le corps de nombres sur lequel est basée la théorie puisse subir de telles fluctuations »

Ceci rappelle les univers multiples de niveau IV chez Max Tegmark :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/06/05/max-tegmark-le-multivers-univers-paralleles/

Sur la théorie des nombres comme physique du « monde des nombres »:

http://enyokoyama.blogspot.com/2011/07/number-theory-is-phys-of-world-of.html

et «  Arithmetic , geometry and mathematical reality »

https://tynanochse.files.wordpress.com/2018/05/hps128_paper1_revised.pdf

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