Tore Dahlen : topos- theoretical approach to quantum physics : introduction à la théorie des topoi

Je poursuis l’étude de ce travail fascinant qui est aussi lisible , avec un accès plus aisé, ici :

https://www.semanticscholar.org/paper/The-Topos-theoretical-Approach-to-Quantum-Physics-Dahlen/be32afc0e628fc3d734840089c5a7b8a21d754a6

Au chapitre 2 page 44 des rappels de théorie des catégories et des topoi sont donnés;

 

 

 

il y a traditionnellement deux approches de l’idée de topos :

– celle, axiomatique, de topos élémétaire :

https://ncatlab.org/nlab/show/topos

https://ncatlab.org/toddtrimble/published/An+elementary+approach+to+elementary+topos+theory

Un topos y est défini comme une catégorie  munie de toutes les limites finies, ayant des objets puissance pour chaque objet , un classificateur de sous-objets, l’exponentiation. En gros, c’est une catégorie qui ressemble à la catégorie Set, ou Ens, des ensembles

– celle, équivalente mais précédant historiquement , de topos de Grothendieck

https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+topos

généralisant l’idée de catégories de faisceaux en direction de la catégorie Set .

J’avais dans le temps étudié le cours d’Olivia Caramello sur les topoi de Grothendieck comme ponts unifiants pour toute la mathématique :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck#TOC-Faisceaux-sur-un-espace-topologique

Mes articles sont sous le hashtag #GrothendieckTopos :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/06/27/grothendiecktopos-6-exemples-classiques-de-topologies-de-grothendieck/

 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

Il s’agit donc de catégories de faisceaux sur un site :

»topoi  de Grothendieck comme catégories de la forme :

Sh(C,J)

c’est à dire des catégories de faisceaux sur un site, un site étant une paire (C,J) d’une catégorie C et d’une topologie de Grothendieck. »

ou de forme équivalente :

»C’est  ce qu’Olivia  Caramello veut dire en faisant remarquer que cette définition d’un topos n’est pas intrinsèque, puisqu’elle dépend du site. Il existe des définitions intrinsèques, comme celle de Giraud, mais dans l’optique qui est la nôtre, celle de l’unification, c’est une supériorité, non un inconvénient.

Car par la notion d’équivalence :

Sh(C,J) ≅ Sh(B,K)

un même topos de Grothendieck peut correspondre à plusieurs sites différents, comme (C,J) et (B,K), c’est à dire à plusieurs domaines mathématiques, et donc servir à transporter « des résultats, des notions, des concepts » d’un domaine à l’autre. »

Nous avons donc avec les topoi un instrument d’unification des mathématiques :

http://www.oliviacaramello.com/Unification/ToposesBridges.html

une théorie commencée en 2010 qui a évolué :

http://logica.dmi.unisa.it/tacl/wp-content/uploads/2014/08/TheoryToposTheoreticBridgesCaramello.pdf

La thèse de Tore Dahlen rappelle, page 49, la différence fondamentale entre les deux approches traditionnelles :

-axiomatique , dans ce qui est appelé topoi élémentaires

-par les topoi de Grothendieck, en généralisant le topos Sh(X) des faisceaux sur un espace topologique X : ceux ci sont des foncteurs de O(X) la catégorie des ouverts de la topologie, ordonnés par l’inclusion (en fait la catégorie duale) vers le topos Set des ensembles.

La section 2.1.3 porte sur la notion très importante de langage interne dans un topos  (langage de Mitchell-Benabou), un langage typé dont chaque objet du topos est un type.

J’avaiis interprété la « characteristica generalis » de Leibniz comme l’émergence de la théorie des catégories près de trois siècles plus tard :

http://mathesis.blogg.org/leibniz-mathesis-universalis-characteristica-et-scientia-generalis-cal-p1002232

assimilée à un téléscope permettant de voir mieux les Idées :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/08/04/leibniz-la-scienceinternelle-ou-mathesisuniversalis-comparee-a-un-telescope-pour-contempler-les-idees/

Il y a là les deux sources de connaissance  distinguées par Descartes dans « Règles pour la direction de l’esprit » : intuition (vision des Idées ) et déduction  de vérités nouvelles à partir de vérités anciennes. La déduction s’opère par le biais du langage logique interne d’un topos, qui est ainsi un « monde de vérité » :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/06/01/quest-ce-quun-monde-veritable-un-topos/

permettant de constituer des vérités premières, qui sont des relations, des morphismes entre les objets, vision intuitive des Idées, et d’en déduire des théorèmes , « vérités éternelles «  de Descartes.

Advertisements
This entry was posted in category theory, Higher topos theory, Léon Brunschvicg, number theory, opposition monde véritable-monde imaginaire, Physique, Quantum mechanics, Science, mathesis, Science-internelle, Simone Weil, Théorie des ensembles (set theory), Théorie des topoi (topos theory), topos physics. Bookmark the permalink.