La vision unificatrice de Grothendieck : mathématiques « classiques  et modernes »

xCet article sur « La vision unificatrice de Grothendieck : au-delà de l’unité (méthodologique ?) des mathématiques de Lautman« :

https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/2010-v37-n1-philoso3706/039718ar.pdf

est très important et a  déjà été croisé ici, mais aujourd’hui je me contenterai de l’introduction, disons des 3 premières pages, qui portent sur la distinction entre les mathématiques tel qu’ elles étaient au 19eme siècle et les mathématiques contemporaines, après les avancées du 20 eme siècle : c’est crucial pour comprendre la pensée d’Hoené Wronski (1776-1853) qui reflète l’état des méthodes mathématiques à son époque.

Albert Lautman, élève de Brunschvicg, en 1937, s’inspire des conceptions d’Herman Weyl dans « Théorie des groupes et mécanique quantique «  pour opposer analyse classique et algèbre moderne, qui par l’intermédiaire de la notion de structure , par exemple des groupes, émergeant dans la théorie de Galois:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois

aboutira en 1945 à la théorie des catégories

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

qui est caractérisée dans l’article de Mathieu Bélanger comme menant à une unité épistémologique des mathématiques, par l’entremise de la notion de morphisme entre structures, alors que l’unité associée à la théorie des ensembles peut être qualifiée d’ontologique, tout objet mathématique étant un ensemble lorsque l’on « oublie » sa structure par ce que l’on nomme en théorie des catégories « foncteur d’oubli » (« forgetful functor ») :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1427236,1427400

La mathématique « classique » c’est à dire l’analyse telle qu’elle se développe jusqu’à la théorie des fonctions d’une variable complexe, est associée par Herman Weyl aux traditions  arabe et hindoue, tandis que l’algèbre moderne  est associée par lui « aux Grecs ». Albert Lautman reprend cette distinction et oppose deux approches : la mathématique classique, qui part de la notion de nombre entier pour aboutir à l’analyse, et la mathématique moderne, qui « s’opposant à la mathématique des nombres,  affirme le primat de la notion de domaine par rapport aux nombres attachés à ce domaine ». J’avais résumé dans l’article suivant la construction de l’anneau Z des entiers relatifs , puis du corps Q des nombres rationnels et du corps R des nombres réels telle qu’elle me fut enseignée en Math Sup en 1970 en cours de ce qu’on appelle « analyse «  :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/28/les-nombres-entiers-entiers-relatifs-rationnels-reels-p-adiques-algebriques/

Tel est bien le mouvement de la « mathématique classique «  selon Weyl et Lautman , mais ce dernier n’oppose les deux pôles que pour  dévoiler l’unité fondamentale à l’oeuvre dans les mathématiques par la conciliation des deux . C’est toujours le même schéma en lequel on reconnaît la pensée de Brunschvicg dans « Les étapes de la philosophie mathématique «  en 1912  : partir d’une dualité pour mettre en œuvre la procédure d’unification. On ne peut unifier que ce qui est distingué. Ni monisme ni dualisme..

Le tableau page 171 caractérise l’opposition entre mathématique classique, qui met l’accent sur le point de vue local et la notion de nombre individuel  , et mathématique moderne, qui accorde le primat au point de vue global et au domaine de définition.

Une étape importante de la transition entre les deux points de vue est le livre célèbre « Modern Algebra » de Van der Waerden:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Moderne_Algebra

Le livre de Rotman est accessible ici :

http://www.math.hcmuns.edu.vn/~nvdong/DaiSoDaiCuong/Advanced%20Modern%20Algebra%20-%20Joseph%20J.%20Rotman.pdf

L’article de Mathieu Bélanger continue sur les avancées de Grothendieck, qui se situent selon l’article au delà de Lautman , dont la thèse date de 1937, avant l’invention de la théorie des catégories en 1945 et de l’idée de topos dans les années 50 par Grothendieck justement. La position de Grothendieck établit la dualité de méthodes et de points de vueà l’aide de concepts purement mathématiques, c’est en cela qu’elle est semblable à celle de Lautman; mais c’est l’idée de topos, dont ne disposait pas Lautman en 1937, qui lui permet de résoudre cette dualité en une unité , ce qui annonce rétrospectivement les travaux d’Olivia Caramello sur le point de vue unificateur des topoi de Grothendieck :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/10/16/olivia-caramello-la-theorie-des-topoi-ponts-unificateurs-cinq-ans-apres/

Olivia Caramello se présente donc à mes yeux comme succédant à Grothendieck, au même titre que Jacob Lurie :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

et cela constitue selon moi la raison de l’odieuse de l’odieuse campagne de dénigrement et de passage sous silence qu’elle a subie :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/10/16/campagne-de-denigrement-contre-olivia-caramello-de-la-communaute-des-theoriciens-des-topoi-unificationofmathematics/

Il n’y a qu’une seule mathématique parce qu’il n’y a qu’un seul plan internel, un seul universel et un seul  Absolu et le point de vue de Wronski en 1850, dérivant indiscutablement de la mathématique de cette époque  ( alors que l’algèbre moderne était en germe dans les travaux de Galois), ne peut être véritablement compris qu’à partir de la théorie des topoi; l’élément neutre EN qui porte l’unité de l’être et du savoir est modélisé par un foncteur entre deux topoi , dont celui de gauche est le  topos Set, c’est à dire un foncteur de la 2-catégorie Topos dont les objets sont les topoi ( et Set est un Topos, donc un objet de Topos):

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

je note ceci :

N : Topos ————> Topos

ou, dans le cadre des ∞-catégories et des ∞-topoi :

N : (∞,1)Topos ——————-> (∞,1)Topos

où (∞,1)Topos est la collection de tous les (∞,1)topoi:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Topos

C’est une (∞,1)-catégorie, sous-(∞,1)-catégorie de (∞,1) Cat : c’est l’analogue de la catégorie ou 2-catégorie Topos pour les ∞-catégories et les ∞-topoi

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos

https://ncatlab.org/nlab/show/elementary+%28infinity%2C1%29-topos

La notation

N : (∞,1)Topos —————> (∞,1)Topos

signifie que le mathème de EN est un (∞,1)- foncteur, dans l’(∞,1)-catégorie (∞,1)Topos

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Topos

Mais , de même que l’objet à gauche était Set dans le cadre de la catégorie Topos de tous les topoi,  dans le cadre des ∞-topoi cela peut être l’∞-topos Spaces :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/01/11/scienceinternelle-l∞-topos-s-spaces-joue-dans-le-domaine-des-∞-categories-le-role-du-1-topos-set-dans-le-domaine-des-categories/

Ou bien ∞Grpd :

https://ncatlab.org/nlab/show/Infinity-Grpd

qui est l’(∞,1)-catégorie de tous les ∞-groupoides, c’est à dire de toutes les (∞,0)-catégories. ∞Grpd est aussi un ∞-topos.

La théorie des « higher toposes «  rejoint les fondations univalentes de HoTT :

Home

Là aussi l’unité des mathématiques ( et là il s’agit de la pointe avancée des recherches contemporaines, pas de la mathématique « classique » de l’époque de Wronski) est confirmée  : il n’y a qu’une seule mathématique parce qu’il n’y a qu’une seule Étendue Intelligible, un seul Absolu, un seul Dieu (mais qui n’est pas un bon papa gâteau ni un Père Fouettard : la crainte de Dieu n’est pas le Commencement de la Sagesse, mais du Fanatisme)

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

 

 

Advertisements
This entry was posted in Alain, ∞-catégories, ∞-topoi, category theory, Cochet-Brunschvicg, DIEU, Grothendieck, Higher category theory, Higher topos theory, homotopy type theory, Léon Brunschvicg, Nombres, number theory, opposition monde véritable-monde imaginaire, Ouvert : dualité plan vital-plan spirituel, Philosophie, Philosophie mathématique, Science, mathesis, Science-internelle, Théorie de Galois, Théorie des ensembles (set theory), Théorie des nombres, Théorie des topoi (topos theory), Wronski, Wronski-Messianisme-séhélianisme-Science-internelle. Bookmark the permalink.