Ashtekar : geometrical formulation of quantum mechanics

cet article, dont j’ai déjà parlé , est ici :

https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9706069.pdf

Le grand succès de la théorie quantique et de ses applications ne doit pas cacher les énormes problèmes conceptuels, qui étaient la cause des réserves d’Einstein et de la fameuse boutade de Feynman

« Si vous avez compris quelque chose à la mécanique quantique , c’est que vous n’avez rien compris à la mécanique quantique «

Il y a donc encore un gros travail théorique, c’est à dire mathématique, à faire pour mieux comprendre  ce domaine

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mathematical_formulation_of_quantum_mechanics

, et beaucoup à déjà été fait, comme le montre cet article d’Ashtekar.

Nous avons déjà parlé des états et des observables dans  l’étude d’un système quantique :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/08/approche-covariante-a-topos-for-algebraic-quantum-theory-spitters-heunen-landsman/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/19/categorical-banach-space-theory/

https://arxiv.org/abs/1703.08543

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/category/quantum-mechanics/page/2/

C’est à mon avis, là encore, la théorie des topoi qui éclaire le mieux ce qui apparaît comme paradoxal et obscur dans les résultats de la physique quantique, C’est ce qu’on appelle « topos physics « , et la thèse de Tore Dahlen a commencé à être étudiée ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/05/tore-dahlen-topos-theoretical-approach-to-quantum-physics-introduction-a-la-theorie-des-topoi/

un état est représenté par un vecteur dans un espace abstrait de Hilbert et une observable par un opérateur sur cet espace abstrait :

http://physics.mq.edu.au/~jcresser/Phys301/Chapters/Chapter13.pdf

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/Quantum/Quantum.html

Dans cet article sur la formulation géométrique de la physique quantique, les états du système sont représentés par des rayons (rays)  de l’espace de Hilbert, c’est à dire des classes d’équivalence de vecteurs colinéaires , éléments de l’espace projectif :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Projective_Hilbert_space

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quantum_state

L’espace de ces rayons possède une structure de variété de Kähler :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold

Qui est une association de structure complexe, riemannienne et symplectique. Nous retombons ainsi sur la géométrie symplectique et algébrique, qui appartient à l’un des groupes de cette classification des mathématiques dont j’ai parlé récemment :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/31/une-autre-classification-des-mathematiques/

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Géométrie_symplectique

En  même temps, la géométrie algébrique est le domaine spécifique de Grothendieck, qui lui a permis d’inventer la notion de topos.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Géométrie_algébrique

L’article d’Ashtekar parle de la théorie des variables cachées, et de la reformulation par Cartan de la gravité newtonienne , qui fut un jalon essentiel vers la Relativité générale :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton–Cartan_theory

La formulation mathématique classique est de nature géométrique, les états sont représentés par des points sur une variété symplectique et les observables par des fonctions à valeurs réelles sur cette variété, ils forment un espace des observables muni d’une structure d’algèbre  commutative et associative

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_sur_un_corps

et , grâce à la structure symplectique, d’un crochet de Poisson

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Crochet_de_Poisson

A chaque observable sous forme d’une fonction f est associé un champ vectoriel X(f) appelé le champ vectoriel hamiltonien de f :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Champ_de_vecteurs_hamiltonien

tout observable engendre un flot sur la variété symplectique des états :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Flot_géodésique

L’hamiltonien H du système joué le rôle d’observable préféré,  qui décrit la dynamique du système.

Un système quantique est décrit par un espace de Hilbert

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hilbert

les états par des rayons  et les observables par des opérateurs auto-adjoints de cet espace

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme_autoadjoint

la différence entre les deux formulation est résumée par Ashtekar en ces termes : la description classique est géométrique et non linéaire, la description quantique est algébrique et linéaire.

Linéaire, comme dans « algèbre linéaire » ou « équations linéaires » cela veut dire « premier degré » , « ax + b » et le non linéaire est généralement plus complexe à traiter, notamment les systèmes d’équations différentielles non linéaires ; le linéaire émerge par linéarisation, des techniques de simplification du non linéaire.

Il y a ici une découverte surprenante, paradoxale car c’est l’image classique qui devrait être plus simple, donc linéaire : mais Ashtekar observe que la « linéarité » de la théorie quantique n’est pas vraiment… linéaire : l’espace des états n’est pas l’espace de Hilbert H de départ, mais l’espace des  rayons de  H, l’espace projectif P, qui possède une structure de variété de Kähler, non-linéaire, P est appelé « espace quantique des phases »  (« quantum phase Space »). Le schéma d’ensemble peut être résumé ainsi :  les espaces classiques de phase ont une structure de variété symplectique, les espaces quantiques de phase ont une structure additionnelle riemanienne,  qui permet de prendre en compte les traits spécifiquement quantiques comme l’incertitude.

A partir de la section II, page 6 sur 41, l’exposé devient plus technique, et j’arrête ici cet article, mais il faut lire jusqu’à la fin le travail d’Ashtekar. Ici j’ai pris la décision de concentrer le travail d’étude sur la « Topos physics » , et la pure théorie mathématique des topoi, on ne peut  faire tout à la fois, les aptitudes humaines sont entachées de finitude, surtout les miennes.

A noter tout de même en haut de la  page 8 que l’équation de Schrodinger qui gouverne l’évolution d’un système quantique est l’équation de Hamilton qui gouverne la mécanique classique, mais sous une autre forme (« in disguise ») . En fait , les deux formulations, hamiltonienne et quantique, peuvent être dérivées  d’un principe unique, celui des moindres carrés de Gauss, qui règne en statistique mathématique, comme le montre cet article:

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01376480/document

Je ne connais qu’un seul Gauss, l’arithméticien. Ainsi toute la physique (classique +quantique) sortirait d’une discipline purement mathématique : l’arithmétique ( théorie des nombres ) communément appelée « reine des mathématiques «  . On comprend mieux maintenant cette assertion suivant laquelle « la théorie des nombres est la physique du monde des Nombres »:

http://enyokoyama.blogspot.com/2011/07/number-theory-is-phys-of-world-of.html

Mais j’ai dit que je me concentrerai sur les topoi et je m’y tiendrai rigoureusement : il faut garder en mémoire la leçon de Descartes : ceux qui sont perdus dans une forêt profonde doivent, s’ils veulent en sortir, suivre un chemin et s’y tenir même s’ils ont des doutes, sinon ils risquent fort de se perdre définitivement.

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/09/13/stanley-kubrick-fear-and-desire-v-o-st-fr-1952/

 

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