Extension de Kan ( « Categorical homotopy theory » d’Emily Riehl)

L’extension de Kan est une construction universelle en théorie des catégories:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Extension_de_Kan

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

mais c’est à partir du livre « Categorical homotopy theory » d’Emily Riehl :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/cathtpy.pdf

Qu’il est le mieux loisible de l’étudier.

Le point de vue de William Thurston est adopté, à savoir que le progrès en mathématique ne consiste pas uniquement à prouver de nouveaux théorèmes, mais aussi à favoriser la compréhension humaine des sujets étudiés. Dans la terminologie que j’ai adoptée ici, le progrès est progrès de la conscience vers le plan internel à l’aide des lunettes qui sont des mathèmes permettant de mieux « voir les Idées intelligibles »; les mathèmes peuvent être considérés comme les objets d’une catégorie:

 

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/09/11/du-concept-au-matheme/

 

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/09/19/nouvelle-terminologie-idees-mathemes-et-mythemes/

et prouver un théorème c’est simplement prouver qu’il existe un morphisme entre deux mathèmes.

Saunders Mac Lane, créateur de la théorie des catégories, affirme dans son livre fondateur « Categories for the  working mathematician » :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Categories_for_the_Working_Mathematician

Que la notion d’extension de Kan contient toutes les autres idées importantes de la théorie, cf section 1.4 page 9 du livre d’Emily Riehl.

d’où le titre du chapitre 1: » All concepts are Kan extensions »

La section 1.1 donne la définition à l’aide de diagrammes, la construction est valide dans toute 2-catégorie , notamment dans Cat dont les objets ou 0-morphismes sont les catégories, les morphismes ou 1-morphismes sont les foncteurs entre catégories, et les 2-morphismes, morphismes entre les 1-morphismes, sont les transformations naturelles

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Rappelons que Cat est considérée ici comme mathème de l’Etendue Intelligible, Idée d’Un, où Idée d’Idée, une catégorie étant le mathème d’une Idée

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

Donc page 19 sur 292 du livre d’Emily Riehl, étant donnés deux foncteurs

F : C  —————-> E

K : C ——————> D

on définit deux extensions de F le long de K : à gauche et à droite

L’extension à gauche est un foncteur LanK (F) : D —————->E

voir les diagrammes , la compréhension est plus facile, c’est ça le miracle de la théorie des catégories

de même l’extension de Kan à droite de F le long de K est notée RanK ( F)  (L pour left, R pour right ), c’est de même un foncteur entre D et E.

le composé LanK (F)• K est comme F un foncteur entre C et E, il y a donc sens à parler d’une transformation naturelle u entre ces deux foncteurs

La propriété universelle qui définit l’extension de Kan est l’unicité de factorisation par cette transformation naturelle ; plus explicitement il existe une transformation naturelle  u : LanK(F)• K ===>F telle que pour toute autre paire (G, t : G•K ====> F ) la transformation naturelle t se factorise de manière unique par u (c’est à dire t =f.u)

rappel : une propriété universelle est toujours définie par l’unicité de factorisation par un morphisme, une transformation naturelle n’est rien d’autre qu’un morphisme entre foncteurs.

l’extension à droite est définie de manière similaire, sauf que les transformations naturelles sont entre F et RanK (F)•K

La page Nlab est plus étendue :

https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+extension

il y a plusieurs variantes : faible, globale, locale, forte . Dans les « bons » cas, toutes ces variantes coïncident.

Les exemples qui suivent : 1.1.6 et 1.1.9 montrent la puissance de cette théorie et de cette notion d’extension de Kan, étroitement liée à la notion d’adjonction.

Les G-représentations, sur un groupe G et pour un corps k , sont les objets d’une catégorie fonctorielle VectGk

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_représentations

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