#GrothendieckTopos exposé de Laurent Lafforgue sur le rôle important des topos de Grothendieck

Le texte de l’exposé est ici :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

Le site Google sur l’exposé :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

Les vues endossées sur ce blog, à propos de Grothendieck et de la théorie des topoi, ont été développées ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/10/laurent-lafforgue-les-topoi-de-grothendieck-et-le-role-quils-peuvent-jouer-en-mathematiques/

et ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/03/ce-sont-les-mathematiques-de-mclane-lawvere-et-grothendieck-apres-1945-qui-donnent-raison-a-wronski-un-siecle-plus-tot/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/23/la-vision-unificatrice-de-grothendieck-mathematiques-classiques-et-modernes/

Donc un Topos est une catégorie particulière équivalente à la catégorie des faisceaux sur un site.

un travail à déjà été mené ici sur les cours d’Olivia Caramello, il se trouve sous le hashtag #GrothendieckTopos , un article à propos de la notion de faisceau sur un site :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

ainsi que sur la notion de topologie de Grothendieck :

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

Voir aussi :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Site_(mathématiques)

Notons que la notion de catégorie entre dans la définition de topos comme de site : la théorie des topos ne pouvait donc émerger qu’après la découverte des catégories en 1945, disons entre 1942 et 1945 dans les travaux d’Eilenberg et Mac Lane : Grothendieck a inventé (découvert) la notion de topos dans les années 1950.

on dit souvent qu’un topos est une catégorie ressemblant à Set celle des ensembles, qui est l’exemple archétypique de topos : mais ce n’est pas une définition mathématique rigoureuse, même si elle est juste et oriente l’intuition.

La catégorie Set (Ens dans les articles en français) est le premier exemple de topos,

c’est d’ailleurs un exemple de catégorie de préfaisceaux d’ensembles, un préfaisceau est un foncteur contravariant depuis une catégorie duale d’une catégorie C vers la catégorie des ensembles:

C_op ———————> Set

Ces foncteurs forment une catégorie, en prenant pour flèches les transformations naturelles, c’est la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur C, qui est un topos. D’ailleurs il existe ne règle mnémonique : si les foncteurs sont de la forme C ————> T , où T est un topos, alors la catégorie formée par ces foncteurs est un topos

En choisissant pour C la catégorie ayant un seul objet, on obtient pour catégorie des préfaisceaux la catégorie Set, qui est donc un exemple de topos comme catégorie de  préfaisceaux.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau_(théorie_des_catégories)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(mathématiques)

un autre exemple de topos comme catégorie de préfaisceaux est la catégorie des ensembles simpliciaux:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

un ensemble simplicial étant un préfaisceau d’ensembles sur la catégorie simpliciale Δ

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_simpliciale

c’est à dire un foncteur contravariant de la catégorie simpliciale vers la catégorie des ensembles:

Δ_op —————> Set

Comme morphismes entre les topoi, Laurent Lafforgue choisit ce qui est appelé « morphismes géométriques », qui ont pour forme un couple de foncteurs adjoints :

F: E ————-> U

G : U —————> E

avec G exact, adjoint à gauche de F , appelé « foncteur image réciproque »:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur_adjoint

https://fr.qwerty.wiki/wiki/Direct_image_functor

F est appelé « foncteur image directe » . Le couple ( F, G) forme le morphisme géométrique entre les topoi E  et U .

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Les topoi forment ainsi une 2-catégorie Topos

Il existe une autre sorte de  morphismes entre topoi : les morphismes logiques.

Ainsi se dessine la nature duale , la double origine , géométrique et logique, de la notion de topos :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/07/30/la-nature-duale-de-la-theorie-des-topoi-geometrique-et-logique/

Les morphismes géométriques caractérisent la théorie géométrique des topoi, qui émerge des travaux de Grothendieck en géométrie algébrique, tandis que le versant logique de la théorie, est issu des travaux de Lawvere.

Comme le souligne Laurent Lafforgue, la théorie des topoi peut être vue comme une vaste généralisation de la théorie des groupes, qui est issue des travaux de Galois, ou de la topologie, un Topos étant considéré comme une extension de la notion d’espace topologique. Il s’agit donc de l’aboutissement final du remplacement de l’analyse par la pensée algébrique au 20 eme siècle :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/26/sarrazin-de-montferrier-les-cinq-periodes-du-developpement-des-mathematiques-orient-grece-europe-jusqua-wallis-europe-apres-newton-et-leibnitz-acces-a-labsolu-de-wronski/

 

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/23/la-vision-unificatrice-de-grothendieck-mathematiques-classiques-et-modernes/

Simone Weil , qu’admire Laurent Lafforgue, et qui était la sœur d’André Weil , était très critique sur l’algèbre, qu’elle considérait comme une automatisation de la pensée et mettait au même rang que le machinisme industriel, l’argent et la financiarisation dans le développement catastrophique de la modernité :

http://pensees.simoneweil.free.fr/armal.html

https://www.laurentlafforgue.org/textes/SimoneWeilMathematique.pdf

Par contre les premiers mathématiciens de Bourbaki, lors des réunions préparatoires de 1935 à 1938, étaient favorables à la fondation de toute la mathématique sur les structures et sur l’algèbre. C’est cet « esprit de 1936 » auquel le  Bourbaki de 1960 se montre infidèle selon Grothendieck en refusant de remplacer la théorie des ensembles par celle des catégories, ce qui provoque la démission de Grothendieck. C’est cet « esprit de  1936 » que Laurent Lafforgue vante ici , dans cet article sur les « topos de Grothendieck et les rôles qu’ils peuvent jouer » et le rôle crucial est celui de la théorie des topoi , remplaçant la théorie des ensembles comme fondation pour tout l’édifice mathématique, c’est ce dernier pas que Bourbaki s’est refusé à franchir. C’est pourquoi je vois en la théorie géométrique des topoi ( et non pas en la pensée individuelle de l’homme historique Grothendieck , né en 1928 et mort en 2014) la véritable « pensée Absolue » que Wronski annonçait en 1847 :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/03/ce-sont-les-mathematiques-de-mclane-lawvere-et-grothendieck-apres-1945-qui-donnent-raison-a-wronski-un-siecle-plus-tot/

L’exposé de Lafforgue est constitué de trois grands chapitres, tout entier orienté vers le troisième qui porte sur la théorie de Caramello des topos comme « ponts unifiants » c’est là la réalisation de la théorie unificatrice de Grothendieck :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/07/23/la-vision-unificatrice-de-grothendieck-mathematiques-classiques-et-modernes/

Le premier chapitre est consacré aux invariants d’un topos, tout d’abord la catégorie des points d’un topos E, qui sont définis comme les morphismes du Topos Ens des ensembles vers E, (définis supra comme morphismes géométriques, c’est à dire couples de foncteurs adjoints) qui forment une catégorie notée pt(E) = Hom (Ens, E)

Les points du topos simplicial sont les intervalles de la droite réelle.

d’habitude je note plutôt Ens comme Set (à la manière anglo-saxonne)

Laurent Lafforgue précise que d’après « Récoltes et semailles » Grothendieck avait compris tout de suite l’importance de la théorie des topos, et recommande de s’attacher plus aux exemples qu’aux définitions, au début tout au moins.

Parmi ces exemples figure le topos classifiant BG d’un groupe G:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/Contenus/topos-classifiant

c’est à dire, tel que l’explique Lafforgue, une catégorie des actions de ce groupe sur les ensembles :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(mathématiques)

C’est ainsi que la théorie des topoi apparaît comme une vaste  extension  de la théorie des groupes.

De même, à tout espace topologique X est attaché un Topos E(X) qui est le topos des faisceaux d’ensembles sur X, la théorie des topoi peut donc aussi être considérée comme une généralisation de la théorie d’espaces topologiques, et les points du Topos E(X) comme une généralisation des points de l’espace, mais il existe généralement des points du Topos qui ne correspondent pas à un point de l’espace.

Lafforgue présente aussi un nouveau topos s’originant dans l’arithmétique, le « topos des fréquences » , topos des faisceaux sur un site (C,J) où les objets de C sont les intervalles bornés de R. Ce topos nouveau résulte des travaux d’Alain Connes et de Caterina Consani :

http://www.alainconnes.org/docs/scalingsite.pdf

Voir la conférence de Consani :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/ihes/ihestopos/consani

Je ne traiterai pas dans cet article déjà long les parties 2 , « richesse et profondeur des topos », et 3 de l’exposé de Laurent Lafforgue , portant sur la théorie de Caramello. En fait, c’est la totalité du blog qui sera consacré désormais à ce que j’appelle ici d’après Brunschvicg pensée-selon-l’Un et qui est aussi ce que j’appelle «  Absolu » d’après Wronski et qui est de l’ordre de la pensée : « pensée Absolue » qui à mon avis peut et doit être trouvée, et donc cherchée ( car « celui qui cherche  trouvera , à qui frappe on ouvrira») dans la théorie des topoi, qui est comme le montrent les travaux de Caramello l’activité unificatrice de toute la mathématique, qui est ce que Grothendieck appelait « yoga des foncteurs » et qu’il accusait son disciple préféré, Pierre Deligne, d’avoir « trahi «  pour des « trucs ». » Trucs » qui ont permis à Deligne de démontrer la troisième conjecture de Weil , en est sorti ce que Deligne a appelé SGA4 1/2:

http://matematicas.unex.es/~navarro/res/sga/SGA%204%20%26%20HALF%20-%20Cohomologie%20Etale.pdf

C’est cela l’Un : une activité intellectuelle unificatrice , selon moi la théorie des topoi, ou du moins l’activité intellectuelle qui est derrière cette théorie.

Toute autre façon d’envisager l’Un :

– Tawhid islamique

– hitlérisme (« Ein Reich, Ein Volk, Ein Führer )

ne peut conduire qu’à la catastrophe humaine nommée par Marie Anne Cochet :

»Un séparé »

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/18/cochetbrunschvicg-13-la-faillite-du-rationalisme-lorsquil-se-separe-de-lidealisme-et-du-criticisme/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/06/23/cochetbrunschvicg-scienceinternelle-la-relativite-du-temps/

La voie qui conduit à l’Un comme activité intellectuelle immanente , le contraire de l’Idole sanguinaire qu’est l’Un séparé est la gnose, ou connaissance intégrale :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/06/25/cochetbrunschvicg-la-scienceinternelle-comme-connaissance-integrale-gnosis/

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