La théorie des catégories est théorie des universaux concrets, celle des ensembles théorie des universaux abstraits : un papier de David Ellerman

Je reviens donc sur cet ancien article, portant sur la participation à l’être et la participation  à l’un, du point de vue mathématique :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/01/06/participation-a-lun-et-participation-a-letre-les-mathemes/

Le résultat principal auquel aboutit cet article :

»Méditer l’ Être c’est penser de manière ontologique , selon l’universalisme abstrait des ensembles; méditer l’Un c’est penser dans le cadre des universaux concrets qui est la théorie des catégories et des ∞-catégories , c’est à dire des mathèmes des Idées «

provient du travail de David Ellerman :

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

qui démontre que la dualité entre théorie des ensembles et théorie des catégories est celle des universaux abstraits et universaux concrets.

Une propriété F se voit associer un universel uF qui la représente.

On a en outre une relation de participation μ :
L’objet x participe à l’universel uF est noté : x μ uF

La condition d’universalité que doit satisfaire uF pour être un universel associé à la propriété F est :

Pour tout x , x μ uF Si et seulement si (équivaut à ) F(x) ( x à la propriété F)

Propriété d’unicité à une équivalence près : un universel représentant la propriété F doit être unique à une équivalence près, c’est à dire que si uF et vF sont deux universaux pour une même propriété F, ils doivent être reliés par une relation d’équivalence :

uF ≈ vF

Une théorie mathématique est une théorie des universaux si elle possède une relation de participation μ et une relation d’équivalence ≈ et que certaines propriétés se voit associer des universaux respectant les conditions d’universalité et d’unicité expliquées ci dessus.
Un universel uF est dit concret s’il participe à lui même :

uF μ uF

universel abstrait dans le cas contraire.

La théorie des ensembles est la théorie des universaux abstraits (Page 5)

L’universel abstrait ensembliste associé à une propriété F est l’ensemble des objets x ayant cette propriété . La relation de participation est la relation d’appartenance ⋳ de la théorie des ensembles.

Page 9 Ellerman aborde la théorie des catégories comme théorie des universaux concrets. La relation de participation μ est la relation de factorisation unique : x participe à u s’il existe un unique morphisme f :

f : x → u

ce qui se lit : x se factorise de manière unique à travers u .
La relation d’équivalence utilisée dans la condition d’unicité est un isomorphisme ( qui en théorie des catégories est un morphisme inversible) : deux universaux pour une même propriété F doivent être isomorphes c’est à dire reliés par un couple de flèches constitué par un morphisme et son inverse. En théorie des catégories tout objet possède de par les axiomes un morphisme identité donc tout universel u est auto-prédicatif de par ce morphisme identité qui lui est associé:

1u : u → u

Tout universel se factorise de manière unique par lui même, par ce morphisme identité. La théorie des catégories est la théorie des universaux concrets, un universel concret étant uncas exemplifiant parfaitement une propriété. Ainsi la pièce « Roméo et Juliette » de Shakespeare exemplifie les « tragédies romantiques » .

Reprenons l’étude du papier d’Ellerman , dont la thèse principale est que la théorie des catégories est la théorie mathématique des universaux concrets; en note 3 page 9 figure la démonstration du fait que deux universaux concrets pour la même propriété sont isomorphes.

La différence entre les deux théories et leurs universaux est caractérisée en haut de la page 10 : la théorie des ensembles  postule l’existence d’une entité plus abstraite que celle des éléments qui ont une propriété : ce sera l’ensemble de tous ces éléments, qui jouera le rôle d’universel abstrait. En théorie des catégories rien de tel, l’universel concret ne peut être postulé ni construit, mais doit être cherché parmi les éléments qui ont la propriété, car il est l’un d’entre eux, et n’est pas plus abstrait qu’eux.

les universaux concrets représentent ce qui est appelé les « essences » en métaphysique , voir page 10 « Universal  as essences ». En théorie des catégories, les objets appelés « limites » ou « colimites » offrent un exemple du processus de « purification des imperfections » permettant d’approcher progressivement de l’essence d’une propriété universelle, l’universel concret qui lui est associé

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

A la fin de l’article Wikipedia ci dessus, tous les exemples qui sont donnés (produit, produit fibré  = « pull back », somme amalgamée, objet final ou initial ) sont des cas de lïmites ou de colimites (notion duale) de diagramme. Ainsi l’objet final peut être vu comme limite du diagramme vide

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_inductive

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_projective

«En particulier, la limite projective du système indexé par l’ensemble vide est l’objet final. »

«La limite inductive du système indexé par l’ensemble vide est l’objet initial. »

«Dans une catégorie, la limite inductive est la limite projective de la catégorie duale. »

Limite projective et limite inductive  sont ce qui est appelé ici limite et colimite : ce sont deux notions duales l’une de l’autre, donc tout théorème démontré pour l’une des deux notions  est à fortiori vrai pour l’autre : économie de temps !

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Il s’agit d’une extension à l’algèbre de la notion de limite en analyse, si féconde :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(mathématiques)

Dans l’article de David Ellerman c’est un exemple emprunté à la théorie des ensembles qui est utilisé à partir de la page 10 : l’explication est que la relation de participation n’est plus la relation d’appartenance ∈, mais la relation d’inclusion ⊂ ou son dual ⊃.

Dans le système de Badiou, cela correspond à ce qu’il appelle présentation d’une situation, vue comme un ensemble, à savoir tous ses éléments, qui appartiennent à cet ensemble ( c’est donc la relation d’appartenance ∈ qui joue ici ) ou représentation, à savoir les parties d’un ensemble, qui sont des sous ensembles , inclus dans cet ensemble,  de par la relation d’inclusion ⊂, ce qui aboutit à l’état d’une situation vue comme un ensemble E, l’ensemble des parties de cet ensemble : P(E). Construction possible dans tout topos, c’est à dire  une catégorie semblable à la catégorie Set des ensembles,  où étant donné un objet X on peut former un autre objet P(X) , et la correspondance :

X—————-> P( X)

est fonctorielle, P( X) est appelé « power object «  et le foncteur P est le  « foncteur puissance «

https://ncatlab.org/nlab/show/power+object

La propriété F choisie par Ellerman est la suivante : étant donnés deux ensembles a et b, un ensemble x à la propriété F , ssi (si et seulement si) x est un sous ensemble à la fois de a et de b.

Si x et y ont tous deux la propriété y est dit « plus essentiel « ( relativement à la propriété F)   que x si y contient x. Un ensemble u qui a aussi la propriété F est appelé  « imperfection » de x si u n’est pas contenu dans x.

On voit alors facilement que si y est plus essentiel que x, alors les imperfections de y sont aussi des imperfections de x ,  qui a donc plus d’imperfections que y. ( voir figures 1 et 2 pages 10 et 11).

Nous avons donc un processus consistant à perfectionner, en enlevant des imperfections, qui est aussi le processus de prendre des ensembles de plus en plus essentiels, avec de moins en moins d’imperfections. On atteint la fin de ce processus quand il n’y a plus d’imperfections à enlever, et cela se produit quand x est l’ensemble

a ∩ b intersection de a et de b

qui est donc l’universel concret cherché , l’essence de la propriété F.

Car par définition de l’intersection   il ne reste plus d’imperfections à enlever puisque tout ensemble x qui est à la fois contenu dans a et b (c’est à dire qui a la propriété F) est contenu dans leur intersection a ∩ b, c’est à dire que pour tout ensemble ayant la propriété, tel que F(x) , l’intersection a ∩ b  est plus essentiel que x , c’est donc l’essence cherchée de F.

Mais comment faire pratiquement pour enlever des imperfections ? si l’on a deux ensembles (ou plus) x et y ayant la propriété F, on prend leur réunion, x ∪ y , qui par définition contient x et y, donc est plus essentielle que x et y, donc a moins d’imperfections.

Le processus de perfectionnement, lorsque l’on a plusieurs ensembles possédant la propriété F : être contenu à la fois dans a et dans b consiste donc à prendre leur union jusqu’à parvenir à l’essence parfaite de la propriété F, qui est a ∩ b, l’intersection de a et de b, qui est aussi l’union de tous les ensembles contenus à la fois dans a et dans b :

a ∩ b = ⋃ { x | x ⊆ a & x ⊆ b}

c’est là l’universel concret, l’essence  correspondant à la propriété F.

Universel concret par qu’il fait partie des objets ayant la propriété , il n’est pas une entité plus abstraite, comme la blancheur qui n’est pas blanche ou l’ensemble de toutes les choses blanches (ça fait beaucoup) qui n’est pas blanc non plus.

De même Jésus- Christ comme humain est la Perfection de la propriété : être un humain, c’est un universel concret . D’autres exemples d’universaux concrets pour la même propriété sont Socrate ou Bouddha, ils doivent donc être « isomorphes » en quelque façon à Jésus-Christ. Mais nous ne sommes pas en mathématiques…

On voit donc dans cet exemple tiré de la théorie des ensembles que l’on peut très bien trouver des universaux concrets qui sont des ensembles. C’est que dans cette situation, la relation de participation n’est pas l’appartenance ⋲ mais l’inclusion ⊆ qui est transitive, c’est à dire que si a ⊆ b et b ⊆ c alors a ⊆ c .

Par contre a ∈ b et b ∈ c n’entraine pas en général que a ∈ c

D’ailleurs la relation d’inclusion d’un sous- objet dans Un autre s’exprime par un monomorphisme dans toute catégorie et notamment dans le Topos Set :

a ⊆ b  comme ensembles correspond à un morphisme injectif m, appelé un monomorphisme, dans le Topos Set :

m : a ————-> b

D’ailleurs tout ensemble est contenu ou égal à lui même : A ⊆ A

et pour tout objet dans une catégorie il existe un morphisme identité :

Id(à) : a ————> a

Par contre pour trouver un ensemble qui est élément de lui même il faut se lever tôt !

D’où le paradoxe de Russell :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

L’ensemble de tous les ensembles ne s’appartenant pas à eux mêmes n’existe pas, il y en a trop !

 

 

 

 

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