#GrothendieckTopos suite de l’exposé de Laurent Lafforgue sur les topos de Grothendieck

La vidéo qui est ici :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

s’arrête à 1h04 et n’inclut malheureusement pas  les parties II et III qui sont les plus importantes.

La vidéo complète est paraît il ici :

https://www.math.sciences.univ-nantes.fr/fr/video/2000

où je ne la trouve pas.

Dans ces conditions ne reste que l’article :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

qui est très résumé.

Les paragraphes 0 et  1  de la section I ont  été vus dans l’article précédent et sont contenus dans la vidéo disponible.

Le 2 sur les sous-Topos d’un topos est expliqué aussi dans la vidéo : étant donné un Topos E, un sous-Topos, c’est à dire un sous-objet dans la 2-catégorie Topos est une classe d’équivalence de morphismes dirigés vers E.

On a vu plus haut qu’un morphisme de topos est un couple de foncteurs adjoints : (F,G)

La condition (découverte par Grothendieck ) pour qu’on ait un plongement d’un sous-Topos dans un topos , un monomorphisme , est que le second de ces foncteurs, le foncteur « image directe » G , soit pleinement fidèle ( «  full and faithful »), c’est à dire injectif et surjectif (c’est à dire bijectif) sur les morphismes:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur_plein_et_fidèle

Les sous-Topos d’un topos donné forment un ensemble ordonné , qui a une structure de co- algèbre de Heyting  ( en dualité avec celle d’algèbre de Heyting, qui est la structure de l’objet-Vérité dans tout topos)

Le 3, sur les invariants cohomologiques, est très important, mais Laurent Lafforgue ne s’y attarde pas, ni sur la vidéo, ni dans le texte, en disant que c’est « classique ».

ce 3 contient un thème crucial concernant Grothendieck, les « six opérations », sujet sur lequel j’avoue ne pas être à la hauteur, mais je me soigne, et j’essaye d’apprendre là dessus, il existe plusieurs sources là dessus :

https://ncatlab.org/nlab/show/six+operationsg

Il y a aussi la thèse d’Ayoub :

https://www.imj-prg.fr/theses/pdf/joseph_ayoub.pdf

ainsi que l’article sur les idées maîtresses de Grothendieck par Deligne, qui était son « disciple préféré »:

https://www.emis.de/journals/SC/1998/3/pdf/smf_sem-cong_3_11-19.pdf

Laurent Lafforgue ne s’étend pas non plus sur les invariants homotopiques  .

Le 5 est onsacré à des exemples de 5 propriétés  invariantes (conservées par équivalence) de topos.

un objet d’un topos est appelé « atome » si ses deux seuls sous-objets sont lui même et l’objet vide

un topos est dit atomique si tous ses objets sont des réunions disjointes d’atomes.

Dans tout topos existe un objet terminal :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Objet_initial_et_objet_final

Un topos  a la propriété de bivalence ssi son  objet terminal est un atome.

Si le topos  E est le topos classifiant d’une théorie T, E = E(T),  la propriété de bivalence veut dire que T est complète, c’est à dire que pour tout énoncé soit lui même, soit sa négation sont démontrables à partir des axiomes

Il y a deux manière privilégiées de considérer un topos  : soit comme topos des faisceaux sur un site (C, J) soit comme topos  classifiant d’une théorie T.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Site_(mathématiques)

Les sous-topos correspondent alors à des topologies J’ plus fines que J sur la même catégorie C ou à des théories  quotients de T, ayant le même langage et plus d’axiomes.

La vidéo ne va que jusqu’à la fin du I, , le II et le III ne sont traités que dans l’article, qui est très sommaire quand on ne connaît pas, comme c’est mon cas, mais il y a un article plus détaillé  qui est un travail commun de Lafforgue et Caramello :

http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf

 

 

 

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