#GrothendieckTopos Laurent Lafforgue et Olivia Caramello : sur la dualité des topos et de leurs présentations

C’est l’article correspondant à l’exposé oral de Laurent Lafforgue :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/autres-seminaires/nantes/20160401-Lafforgue-Topos

dont je ne peux trouver que la première heure en vidéo

L’article détaillé est ici, 61 pages, rédigé par Laurent Lafforgue à partir d’expositions orales et de notes d’Olivia Caramello .

http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf

alors que celui ci n’en est que le résumé :

https://www.laurentlafforgue.org/math/OCLLNotesCourtes.pdf

 

Les six premières pages de l’introduction sont un résumé remarquable par sa précision de toute la théorie des topos inventée par Grothendieck, dont la vision profonde et prospective  est abondamment documentée par de nombreuses citations :

1 Dans presque tout domaine des mathématiques et presque toute situation (terme utilisé par Badiou, pour qui c’est un ensemble), il est à priori possible de définir un ou des topos qui « saisissent avec finesse la situation » et ce sur les deux versants de la nouvelle théorie, géométrique mais aussi logique avec les travaux en 1972 de Monique Hakim élève de Grothendieck dans « Topos annelés et schémas relatifs » qui a mis en évidence l’idée de topos classifiant d’une théorie, existant pour toute théorie « géométrique du premier ordre », et toutes les théories algébriques sont dans ce cas.

https://ncatlab.org/nlab/show/syntactic+site

https://ncatlab.org/nlab/show/syntactic+category

Les catégories syntaxiques sont une notion présente dans la théorie des types homotopiques HoTT, par exemple voir Joyal:

http://www1.maths.leeds.ac.uk/~pmtng/HOMALG/joyal-mit.pdf

Page 20 sur 81 : une catégorie syntaxique a comme objets les expressions formelles

[Γ] où Γ est un contexte.

« Le langage et les axiomes de toute théorie géométrique du premier ordre, notamment de toute théorie algébrique, définissent un site, le site syntaxique de la théorie.Le passage de ce site à son topos incarné géométriquement le passage de la définition logique d’une théorie à son contenu mathématique, c’est à dire de sa syntaxe à sa sémantique.

https://ncatlab.org/nlab/show/syntactic+category#the_syntactic_site

« For some doctrines, the syntactic category of any theory is naturally equipped with the structure of a site. For instance, if T is a regular, coherent, or geometric theory, then Con(T) is a regular, coherent, or geometric category, which comes with a naturally defined topology. When equipped with this topology, the syntactic category is called the syntactic site.

In each of these cases, the category of sheaves on the syntactic site is the classifying topos of the theory. In other words, it has the universal property that for any Grothendieck toposgeometric morphisms ℰ→Sh(Con(T)) are equivalent to models of the theory T in ℰ«

2 Les présentations d’un topos sont les sites de Grothendieck qui lui sont associés  ou les théories dont il est le Topos classifiant : il peut exister une multitude de telles présentations pour un même topos . On peut aussi trouver d’autres présentations. Un principe fondamental est la dualité entre les topos et leurs présentations.

L’article affirme page  2 que sauf pour le topos  trivial ( 1, avec un seul objet ) les objets d’un topos ne forment jamais un ensemble, il y en a « trop », comme d’ailleurs pour le premier topos, celui Ens des ensembles : il n’y a pas d’ensemble de tous les ensembles, c’est une catégorie qui est un Topos, et dont tous les objets constituent une classe au sens propre du mot, pas un ensemble.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Classe_(mathématiques)

La dualité est une notion importante dans ce blog, et commence avec la dualité entre plan internel et monde , que j’appelle « Ouvert » , elle revient dans l’article au 3 du III page 52 « dualité entre le réel et l’imaginaire «  mais je voudrais insister ici sur le fait que ce n’est pas du tout l’opposition entre le monde véritable , celui des théories physiques contemporaines, dont l’aboutissement se trouve dans les théories de la « Topos physics » , et le monde imaginaire, celui des sensations, dualité que j’emprunte à « Raison et religion » de Brunschvicg:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/03/brunschvicgraisonreligion-seconde-opposition-fondamentale-monde-imaginaire-ou-monde-veritable/

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/07/27/brunschvicgraisonreligion-les-trois-oppositions-fondamentales-ou-les-trois-axes-du-mouvement-de-conversion-spirituelle-dans-raison-et-religion/

Lafforgue et Caramello partent du monde qu’ils appellent « réel » des théories mathématiques concrètes et s’élèvent dans le « monde imaginaire » des topos pour trouver un « pont » permettant de relier des éléments séparés du « monde mathématique réel ». Mais dans mon approche philosophique inspirée par Brunschvicg, le réel du monde, celui de la multiplicité des choses et des êtres, c’est l’imaginaire, et la fonction de la science , dont la pointe extrême est la théorie des topos, c’est d’unifier ce réel disparate, au moyen des topos comme « ponts unifiants ».

Je voudrais aussi rappeler qu’il ne s’agit pas ici d’un simple délassement intellectuel, d’un jeu, ou alors d’un « jeu des perles de verre » suprêmement important . Ce qui est visé ici, c’est de trouver une compréhension de cette dialectique de l’un opposée à la dialectique de l’être qui est la façon dont tout le monde pense, c’est pour ça que le monde de l’Histoire est absurde , « une histoire racontée par un idiot, pleine de bruit et de fureur qui ne signifie rien »

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/11/24/cochetbrunschvicg-12-trois-types-detres-humains-donc-trois-conceptions-de-dieu-trois-dieux-en-guerre/

« au contraire de la dialectique de l’être, la dialectique de l’Un se dilate en TOUS sens sans s’épuiser; elle engendre sans se nier, elle multiplie sans confondre, elle divise sans diminuer. Le refus de finalité n’est pas accepté par l’être: l’élan vital, étant élan, commence et finit nécessairement. Mais l’un, immanence même, ne connaît ni commencement, ni fin, étant l’acte du présent éternel. La conscience intellectuelle se développe par la transformation des jugements sensibles, automatisés dans l’être corporel, en jugements réfléchis, dirigés par l’intelligence en vertu de son pouvoir unifiant” .

cette pensée selon l’un est la seule façon de « voir » l’Idée de l’Un, qui est la principale envisagée ici , l’Etendue Intelligible, «  lieu » des Idées.

Le formidable roman « Moby Dick » d’Hermann Melville raconte l’odyssée d’Achab à la poursuite de la baleine blanche, qui symbolise le plan vital  : à la fin le navire d’Achab est entraîné dans les profondeurs de l’Océan, avec un aigle cloué au mât par un des matelots, « La bateau d’Achab ne descendit pas en enfer sans emporter avec lui une vivante part du Ciel pour s’en casquer » et Achab meurt les armes à la main, apostrophant et maudissant la baleine blanche:

« baleine destructrice qui ne récoltes que le Néant »

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/06/30/herman-melville-moby-dick/

«

Achab chancela et porta la main à son front :

– Je deviens aveugle… hommes, tendez-moi la main que je puisse tâtonner encore pour trouver mon chemin. Fait-il nuit ?

– La baleine ! Le navire ! s’écrièrent les rameurs en se dérobant craintivement.

– Aux avirons ! aux avirons ! Abaisse-toi jusqu’en tes profondeurs, ô mer, qu’avant qu’il ne soit trop tard, Achab puisse glisser jusqu’à son but pour la dernière, l’ultime fois ! Je vois : navire ! le navire ! Souquez, hommes souquez ! Ne sauverez-vous pas mon navire ?«

« Des cerises ? Je ne souhaiterais qu’être au pays où elles poussent. Oh ! Stubb, j’espère que ma pauvre mère a touché ma part de paie avant ce moment, sinon elle ne verra pas un sou, car le voyage est fini.

À l’avant du navire, les hommes à présent sont pétrifiés, le dernier geste qu’ils étaient en train de faire a figé dans leurs mains les marteaux, les morceaux de bordés, les lances et les harpons. Envoûtés, ils fixent la baleine, ils la regardent balancer de droite et de gauche son front, porteur du destin et contemplent le vaste demi-cercle d’écume que son élan soulève devant elle. Elle est la vision même du Jugement dernier, de la vengeance immédiate, de l’éternelle malice devant l’impuissance humaine. Le solide contrefort de son front blanc frappa la proue par tribord, faisant rouler les pièces de construction et les hommes. Quelques-uns s’abattirent face au sol. Comme des pommes de mât déboîtées, les têtes des harponneurs en vigie furent ébranlées sur leurs cous de taureaux. Par la brèche, ils entendirent s’engouffrer l’eau comme celle d’un torrent de montagne dans une rayère.

– Le navire ! Le corbillard !… le second corbillard ! s’écria Achab de sa baleinière, et dont le bois ne serait qu’un bois d’Amérique !

Plongeant sous le navire qui enfonçait, la baleine courut en frémissant le long de la quille, mais se retournant dans l’eau, elle réapparut promptement à la surface, loin de l’étrave, par bâbord, mais à peu de distance de la baleinière d’Achab. Et là, elle se tint immobile un moment.

– Je me détourne du soleil. Ohé, Tashtego, fais-moi entendre ton marteau. Oh ! vous mes trois mâts invincibles… toi, contre-quille intacte… coque par Dieu seul intimidée… toi, ferme pont, barre fière, proue pointée vers le Pôle… navire à la mort glorieuse, devras-tu périr sans moi ? Suis-je frustré de la dernière satisfaction d’orgueil du plus misérable des capitaines ? Oh ! solitaire mort après une vie solitaire ! Oh ! je sens à présent que mon extrême grandeur est dans ma douleur extrême. Oh ! accourez des plus lointains rivages pour gonfler, ô vagues intrépides de toute ma vie passée, cette lame unique de ma mort qui va déferler ! Vers toi je roule, baleine destructrice qui ne récolte que le néant, je suis aux prises avec toi jusqu’au dernier instant, du cœur de l’enfer je te frappe, au nom de la haine je crache contre toi mon dernier souffle. Sombrez tous cercueils, tous corbillards dans la mare commune puisque nuls ne peuvent êtres miens, que je sois déchiqueté et lié à toi en te chassant, baleine maudite ! C’est ainsi que je rends les armes !«

 

«  Et le harpon fut lancé, la baleine frappée chargea, la ligne courut dans son engoujure en s’enflammant, puis se noua. Achab se pencha pour la démêler et il y parvint, mais le nœud coulant en plein vol lui enserra le cou et sans voix, comme la victime des bourreaux muets des sultans, il fut emporté hors de la baleinière avant que les hommes aient eu le temps de s’en apercevoir. L’instant d’après, la lourde épissure à œil de l’extrémité de la ligne gicla hors de la baille vide, renversa les canotiers et, frappant la mer, disparut dans les profondeurs.

L’équipage pétrifié resta un moment immobile, puis se retourna : « Le navire ? Grand Dieu, où est le navire ? »

Bientôt ils le virent dans une atmosphère trouble, bouleversante, fantôme évanescent, vu comme à travers les brouillards de la fée Morgane. Seuls les trois mâts émergeaient encore et soit aberration, fidélité, ou destin, au sommet de leurs perchoirs élevés, les harponneurs païens guettaient toujours la mer. Maintenant, les cercles concentriques se resserrèrent autour de la baleinière esseulée et de son équipage, saisissant chaque aviron qui flotte, chaque hampe de lance, les êtres animés, les objets inanimés, les emportant en rond dans un unique maelström, leur dérobant la vue de la plus petite épave du Péquod.

Mais tandis que les derniers tourbillons se refermaient sur la tête de l’Indien au grand mât, laissant encore émerger sa flèche ainsi que le penon qui flottait paisiblement de toute sa longueur, la dérision d’une coïncidence voulut qu’au-dessus des lames destructrices qui le touchaient presque, un bras rouge tenant un marteau sortit de l’eau et d’un geste large, se mit à clouer plus fort et toujours plus fort le drapeau à l’espar qui pointait encore. Un aigle de mer avait suivi, provoquant, la descente du grand mât loin de sa vraie demeure parmi les étoiles, harcelant Tashtego en piquant du bec le drapeau ; son aile se mit à battre entre le marteau et le bois et, sentant aussitôt ce frisson éthéré, le sauvage noyé, dans la convulsion de son agonie, le cloua.

Ainsi l’oiseau du ciel au cri d’archange, le bec impérial levé, le corps captif du drapeau d’Achab, sombra avec son navire qui, tel Satan, ne descendit pas en enfer sans avoir entraîné à sa suite une vivante part de ciel pour s’en casquer.

Et maintenant de petits oiseaux volaient en criant au-dessus du gouffre encore béant, une blanche et morne écume battait ses flancs escarpés, puis tout s’affaissa, et le grand linceul de la mer roula comme il roulait il y a cinq mille ans. »

La dialectique de l’être entraîne à cette catastrophe de l’ensevelissement dans les flots, celle aussi de l’armée de Pharaon: la dialectique de l’un permet de monter au ciel.

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