Hegel : unité des contraires et son modèle mathématique sur Nlab

« Pour aller là où tu ne sais pas, il te faut passer par où tu ne sais pas »

Le thème de la « coincidentia oppositorum « , présent chez Nicolas de Cuse déj, n’a pas bonne presse en logique, à cause du principe «EFQ» ( « ex falso quodlibet « ) :

D’une contradiction, notée F (le faux), c’est à dire de la négation et de l’affirmation simultanée d’une même proposition P, on peut déduire tout, le vrai comme le faux, c’est à dire que tout est démontrable dans un système qui contient une contradiction : un tel système axiomatique, où tout est démontrablement vrai, n’a aucun intérêt.

Toute la Grande Logique de Hegel peut être formalisée dans le cadre de la théorie des catégories et des ∞-catégories, et dans la théorie des types homotopiques , la « traduction » est donnée dans le passage « formalization  dictionnary «  :

https://ncatlab.org/nlab/show/Science+of+Logic#FormalizationDictionary

comme cela est expliqué dans le paragraphe 1 « Formalization in Categorical logic »:

https://ncatlab.org/nlab/show/Science+of+Logic#FormalizationText

selon la remarque nPov (point of view):

nPOV. Therefore, while going through Hegel’s text, this page here attempts to spell out as much as seems possible the translation of the system to a category-theoretic or modal type-theoretic formalization (an “nPOV”). The way this formalization works in general is surveyed below in Formalization in categorical logic / in Modal type theory; a dictionary version of the formalization that we arrive at is in The formalization dictionary; and diagram showing the resulting process is in Survey diagram.

qui découle des travaux de Lawvere :

»Lawvere 92: It is my belief that in the next decade and in the next century the technical advances forged by category theorists will be of value to dialectical philosophy, lending precise form with disputable mathematical models to ancient philosophical distinctions such as general vs. particular, objective vs. subjective, being vs. becoming, space vs. quantity, equality vs. difference, quantitative vs. qualitative etc. In turn the explicit attention by mathematicians to such philosophical questions is necessary to achieve the goal of making mathematics (and hence other sciences) more widely learnable and useable. Of course this will require that philosophers learn mathematics and that mathematicians learn philosophy. »

ce qui est appelé « logique subjective » correspond à  la logique au sens propre , syllogistique et à la logique formelle, la « logique objective «  est le Logos :

https://ncatlab.org/nlab/show/objective+and+subjective+logic

Un concept ( Begriff) ou une notion correspond dans HoTT à un type, un jugement (urteil) à une assertion selon laquelle un terme appartient à un type :

c:C

»The explicit statement “a type is a concept” appears for instance (referring both to types of mathematical objects as well as to data types in computer science) in:

  • Arthur Sale, Primitive data types, The Australian Computer Journal, Vol. 9, No. 2, July 1977 (pdf)

The explicit statement “a type is a ‘mathematical’ concept” appears on p. 6 of

  • Francis Sergeraert, The computability problem in algebraic topology, Advances in mathematics 104, 1-29, 1994 pdf

and with explicit reference to type theory in

  • Giuseppe Primiero, Information and knowledge: A constructive type-theoretical approach, Springer (2008)

where it says on page 129:

Types are general concepts: This statement represents the main conceptual basis of the whole idea of using CTT [constructive type theory] as a language to formalize knowledge processes.

as well as

  • Nicholas Asher, A Web of Words, Lexical Meaning in Context, Cambridge University Press (2011) (pdf)

where it says on pages 37/38:

[…] this leads us to the hypothesis that types are concepts.

With explicit reference to homotopy type theory the proposal that “type” should be read as a “concept” is voiced in

Hence the types of type theory may be thought of as a formalization of concepts. On the other hand, concepts have famously been identified with the predicates in Aristotelian logic:

Concepts … serve as predicates of possible judgements. (Critique of Pure Reason A69/B94) »

Théorie homotopique des types et théorie des catégories sont étroitement liées, comme syntaxe et sémantique:

https://ncatlab.org/nlab/show/relation+between+type+theory+and+category+theory

L’Aufhebung ( sursomption, relèvement ) est interprétée grâce à la mathématique des topoi de Lawvere :

https://ncatlab.org/nlab/show/Aufhebung

et l’unité des contraires, si décriée,  trouve un cadre rationnel dans l’adjonction :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality

C’est la célèbre thèse de l’identité de l’être et du néant , dans le devenir :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality#Werden

Le « Dasein «  ( « être là » interprété par Heidegger comme « être le là « ) interprété dans Nlab comme « être déterminé » , c’est à dire nié et limité puisque « omnis determinatio est negatio « , est l’Aufhebung du devenir comme identité de l’être et du néant :

https://ncatlab.org/nlab/show/Dasein

Une catégorie de l’ être, au sens vague, correspond à une catégorie mathématique :

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+being

L’importance fondamentale de l’adjonction , cadre pour l’unité des contraires, est ainsi confirmée :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

ainsi que celle des triplets et quadruplets d’adjonctions :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

notion dûe à Lawvere :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

Hegel est l’exemple typique d’une dialectique de l’un interprétée dans les termes du  Logos de l’être :

https://ncatlab.org/nlab/show/Georg+Hegel

ce qui provoque une dérive vers le mysticisme :

https://ncatlab.org/nlab/show/mysticism

Mais, comme le dit Brunschvicg dans « Vraie et fausse conversion »:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/brunschvicg_conversion.doc#c1

« La première précaution à prendre, quand on aborde le problème de la raison, c’est de ne pas faire de l’éléatisme une solution ; le point de départ devra être, au contraire, la rupture de cette solution apparente par l’argumentation « parricide » du Parménide platonicien.« 

Ce parricide s’énonce : «  Ens et unum non convertuntur »

»Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. »

»

L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un . »

 Là encore , dans son interprétation du Parménide, Badiou suit Brunschvicg sans jamais le nommer . Il y a là un mensonge par omission qui est insupportable.

La conversion véritable est conversion à l’un, passant par dessus les fausses imaginations de la conversion à la dialectique de l’être , en choisissant la théorie des catégories et la théorie des types homotopiques , plutôt que la théorie des ensembles comme Badiou nous y invite en montrant que c’est ce que la philosophie connaît depuis Aristote comme « ontologie ».

c’est exactement la voie proposée ici par le Nlab.

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