#ETCC #ETCS axiomatisation de #Cat catégorie des catégories et de #Set topos des ensembles

La (méta)catégorie Cat de toutes les (petites) catégories et la catégorie Set des ensembles ont ici joué le rôle de mathèmes de l’Idée d’Un et de l’Idée d’être :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

La théorie axiomatique de Cat a été entreprise par Bill Lawvere sous le nom d’ETCC (« elementary theory of the category of catégories ») ou ET2CC (« elementary theory of the 2-category of categories) :

https://ncatlab.org/nlab/show/ETCC

L’axiomatisation de la catégorie Set des ensembles , c’est à dire de la théorie des ensembles dans l’esprit de la théorie des catégories (donc pas dans l’esprit des pionniers comme Cantor) est l’objet de ETCS (« elementary theory of the category of sets) :

https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS

On peut faire observer comme Alfred Tarski que la théorie des ensembles précède, non seulement historiquement mais logiquement, la théorie des catégories puisqu’une catégorie n’est rien d’autre que la donnée d’un ensemble d’objets et d’un ensemble de morphismes, mais Lawvere répond que la théorie des ensembles axiomatise la relation binaire d’appartenance ∈ (x ∈ X signifie : l’élément x appartient à l’ensemble X) tandis que la théorie des catégories axiomatise une relation ternaire, celle de la composition des morphismes.

La révolution entreprise par Lawvere dès sa thèse de 1963, écrite sous la direction de Samuel Eilenberg, créateur en 1945 avec MacLane de la théorie des catégories, consiste à se passer totalement des notions ensemblistes pour établir le système d’axiomes de ETCC, dont la version définitive vit le jour en 1966. Compte tenu des thèses déjà avancées sur ce blog  : que la théorie des ensembles est l’ontologie (Badiou) ou le mathème de l’ontologie, et que la théorie des catégories est le mathème de l’hénologie, cela signifie que cette dernière est indépendante de l’ontologie, en d’autres termes que la dialectique de l’un ne se ramène pas à la dialectique de l’être.

Le paragraphe 3 (ET2CC) de la page ETCC oriente la pensée vers une échelle qui est celle des n-catégories, partant de l’échelon 0 qui est celui des ensembles , ou 0-catégories, puis les catégories ou 1-catégories, les 2-catégories etc.. on passe d’un échelon au suivant par catégorification:

https://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification

La page précise que ce qui s’approche le plus de cette vision est HoTT :

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+type+theory

et s’oriente vers les 2-topos, et vers les remarques de Michael Shulman ici en 2009:

https://mathoverflow.net/questions/9269/category-of-categories-as-a-foundation-of-mathematics

c’est à dire vers les problèmes de fondation.

https://ncatlab.org/nlab/show/2-topos

https://ncatlab.org/michaelshulman/show/2-categorical+logic

Or Cat est le 2-topos archétypique, jouant le même rôle que Set pour les 1-topos.

La direction à suivre est donc clairement balisée : vers « Higher topos theory » de Jacob Lurie et HoTT.

C’est à dire HTTUF.

This entry was posted in category theory, Ouvert : dualité plan vital-plan spirituel, Science, mathesis, Science-internelle, Théorie des ensembles (set theory), Théorie des topoi (topos theory). Bookmark the permalink.