#GrothendieckTopos Laurent Lafforgue : invariants d’un topos

Suite de :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/16/grothendiecktopos-expose-de-laurent-lafforgue-sur-le-role-important-des-topos-de-grothendieck/

La version longue, complète de la note de Caramello et Lafforgue est ici :

http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf

Page 14 :

un topos est défini comme une catégorie « spéciale »,  équivalente à la catégorie des faisceaux d’ensembles E(C,J) sur un site (C,J), c’est à dire une catégorie C « petite » ( telle que la collection de ses objets forme un ensemble, non une classe) munie d’une topologie de Grothendieck J

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Site_(mathématiques)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_topology

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

Pour une petite catégorie C un préfaisceau d’ensembles sur C est un foncteur contravariant :

C_op —————> Ens ( Le topos des ensembles)

les préfaisceaux sur C forment une catégorie qui est un topos.

Deux exemples de topoi qui sont des catégories de préfaisceaux :

Set, comme topos des préfaisceaux sur la catégorie ayant un seul objet

Les ensembles simpliciaux

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

comme catégorie des préfaisceaux sur la catégorie  simpliciale ∆

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_simpliciale

Les invariants d’un topos sont tout objet, propriété ou procédé de construction invariant par équivalence de catégories ; dans le cadre des topoi, la notion appropriée de symétrie est l’équivalence de catégories, notion plus faible que l’isomorphisme de catégories :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_catégories

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme_de_catégories

La notion fondamentale de morphisme géométrique est définie en I1

page 14 : il s’agit d’un couple de foncteurs adjoints

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

La 2-catégorie Topos est constituée par tous les topoi comme objets avec les morphismes géométriques comme flèches , et les transformations naturelles entre morphismes géométriques comme 2-morphismes.

Pour tout couple de topoi E et F , la catégorie Hom ( E,F) des morphismes géométriques entre E et F est un invariant  de E (à F fixé ) et de F (à E fixé)

En particulier, on peut fixer F = Set

Set, l’exemple paradigmatique de topos, est un objet terminal dans la 2-catégorie Topos c’est à dire :

– Il existe une unique fléche :

E ————> Set

pour tout topos E

ou encore Hom ( E, Set ) est une catégorie réduite à un objet

La catégorie Hom ( Set, E) des flèches (morphismes géométriques):

Set ————> E

est appelée catégorie des points de E.

Un objet terminal n’existe pas dans toute les catégories, c’est un cas de limite , il existe donc dans toute catégorie munie de limites, c’est à dire complète ,  en particulier dans tout topos.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Objet_initial_et_objet_final

L’objet terminal est noté généralement 1. Il est défini par l’existence d’une flèche unique de tout objet de la catégorie vers 1. Tous les objets terminaux sont isomorphes, c’est à dire reliés par des isomorphismes, ou morphismes inversibles.

les flèches allant de l’objet terminal 1 vers un objet quelconque A sont appelés « éléments généralisés » de A (ou « points » dans le cas d’un topos). Ils peuvent être pensés comme les éléments d’un ensemble. D’ailleurs dans le cas du topos Set, l’objet terminal 1 est n’importe quel ensemble à un élément (ils sont tous isomorphes) . Pour tout ensemble A il existe une flèche unique :

A ————-> 1

qui est la fonction envoyant tout élément de A sur l’élément unique de 1

a l’inverse une flèche :

1 —————-> A

est un élément de A, celui sur lequel l’élément unique de 1 est envoyé.

Alain Badiou refuse l’un, qui est représenté dans la théorie des catégories  par le morphisme identité associé à tout objet. Il appelle cela le « compte -pour-un «  ensembliste, réduisant ainsi tout objet d’une catégorie  à un objet de la catégorie Set des ensembles, en particulier tout topos, objet de la 2-catégorie Topos au topos Set. Mais les points d’un topos A sont dans la 2-catégorie Topos les flèches allant de Set vers A :

Set ——————-> A

un topos est plus que ses « points » , tandis qu’un ensemble est la même chose que ses éléments, qui le définissent. La théorie des ensembles est l’ontologie , selon l’oeuvre de Badiou . Mais la théorie des catégories, qui contient la théorie des topoi est plus que l’ontologie. Je l’appelle « hénologie »:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/15/les-deux-theories-mathematiques-privilegiees-par-badiou-topoi-et-ensembles-correspondant-aux-deux-plans-vital-ontologique-et-spirituel/

Au dessus de l’ontologie qui est la théorie des ensembles, se situe l’hénologie, qui est la théorie des catégories. A l’ontologie correspond la dialectique de l’être, seule retenue par Badiou ; mais l’hénologie c’est la dialectique de l’un , refusée par Badiou :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/19/dialectique-de-lun-et-dialectique-de-letre-la-fin-du-progres-de-la-conscience-dans-la-philosophie-occidentale-de-leon-brunschvicg/

«au contraire de la dialectique de l’être, la dialectique de l’Un se dilate en TOUS sens sans s’épuiser; elle engendre sans se nier, elle multiplie sans confondre, elle divise sans diminuer. Le refus de finalité n’est pas accepté par l’être: l’élan vital, étant élan, commence et finit nécessairement. Mais l’un, immanence même, ne connaît ni commencement, ni fin, étant l’acte du présent éternel. La conscience intellectuelle se développe par la transformation des jugements sensibles, automatisés dans l’être corporel, en jugements réfléchis, dirigés par l’intelligence en vertu de son pouvoir unifiant” .

»Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène. »

»passer par dessus l’imagination de l’être » consiste à remplacer la théorie des ensembles et ses conceptions ontologiques par la théorie des catégories, la dialectique de l’être par la dialectique de l’un.

Proposition I 5 page 17 : le « topos simplicial » des ensembles simpliciaux a comme « points » les intervalles, de type [a,b]

Il existe un article fabuleux d’Alain Connes, « un topo sur les topos »:

https://www.alainconnes.org/docs/topotopos.pdf

qui revient , page 19-20,  sur les points d’un topos .

Un point du topos E  est donc un morphisme géométrique de Set vers E, c’est à dire un couple de foncteurs adjoints : le foncteur image directe et le foncteur image inverse.

si E est Le topos simplicial, « les points sont les intervalles, c’est à dire les ensembles totalement ordonnés possédant un plus petit et un plus grand élément . Le foncteur image inverse est alors un foncteur de la catégorie des ensembles simpliciaux vers la catégorie Set des ensembles. Dans le cas du point associé à l’intervalle [0,1] , ce foncteur est appelé « foncteur de réalisation géométrique » (page 20 de la note de Connes)

C’est ce couple de foncteurs adjoints que j’ai associé aux deux flèches du temps dans le modèle toposique de la « loi de création «  de Wronski :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/10/21/la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski-et-le-temps-quest-ce-quetre-vraiment-dans-le-present/

Pour que cela fonctionne, il faut choisir comme mathèmes de EE élément -être et ES élément -Savoir deux topoi qui seront : pour EE Le topos Set et pour  ES  on ne prend pas Cat qui est un 2-topos, mais plutôt le topos simplicial E .

Il existe alors un morphisme géométrique unique  dirigé de E vers Set :

E ————->Set

et les points du  topos simplicial associés aux intervalles, qui sont les foncteurs  « morphisme géométrique «

Set ———————> E

EN élément neutre , assurant la médiation-neutralisation entre EE et ES, a pour  mathème un foncteur entre E et Set : soit le foncteur unique

E—————-> Set

soit les points de E

Un tel foncteur est un morphisme géométrique, c’est à dire une paire de foncteurs adjoints: foncteur image directe et image inverse. C’est ce foncteur qui est le mathème de EN l’élément neutre : orienté ainsi :

EE ——— EN ———>ES

il désigne le passage de l’être en savoir tandis que :

EE <———EN ———— ES

désigne le mouvement vital, processus qui dégrade le Savoir en être, l’or philosophal de  l’alchimie en plomb .

le morphisme géométrique , constitué par un couple de foncteurs adjoints, possède une sorte de symétrie qui convient à EN

https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

Il est cependant bien orienté :

»Definition 2.1. If E and F are toposes, a geometric morphism f:E→F consists of an pair of adjoint functors (f*,f*)

f*:E→F

E←F:f*,such that the left adjoint f*:F→E preserves finite limits.

We say that

of the geometric morphism.

If moreover the inverse image f* has also a left adjoint f!:E→F f is an essential geometric morphism. »

Donc il faut chercher, je ne connais pas assez bien l’oeuvre de Wronski pour savoir s’il y a trace de ce caractère orienté , dissymétrique, dans la définition de l’élément neutre dans la loi de création.

mais c’est bien au niveau de la dualité des foncteurs constituant un morphisme géométrique que j’ai situé la « double flèche du temps » dans l’article référencé supra :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/10/21/la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski-et-le-temps-quest-ce-quetre-vraiment-dans-le-present/

La dégradation de l’or philosophal en plomb de la réalité , ce sable qui s’écoule entre nos doigts, nous flouant perpétuellement de nos espoirs,  correspond à l’avenir des possibles qui se transforme en passé figé et définitif en passant à travers la porte de l’instant présent, ce qui est représenté par le diagramme :

EE passé  <——EN présent ——- ES avenir

ce qui correspond, pour un morphisme géométrique dirigé ainsi :

EE Set  ————————-> ES sSet (topos des ensembles simpliciaux)

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+set

au foncteur image inverse :

sSet —————-> Set

tandis que l’autre flèche du temps est modélisée par le foncteur image directe :

Set ——————-> sSet

Elle ne  correspond nullement au voyage temporel vers le futur, qui n’est pas interdit par la Relativité , mais reste dans l’être , mais au passage de l’être en Savoir ES, transmutation du plomb en or dont parlent les traités alchimiques.

Mais il serait peut être  plus cohérent avec ce qui a été dit ici par le passé de retenir comme mathème de ES la catégorie, ou 2-catégorie qui est le 2-topos archétypique , Cat de toutes les catégories, plutôt que le topos  simplicial sSet .

Or  nous disposons d’un 2-foncteur entre les 2- catégories  Cat et Topos en formant le topos des préfaisceaux d’ensembles [C, Set] à partir d’une catégorie C quelconque :

»Proposition 4.1. Every functor f:C→D induces an (essential, even) geometric morphism

f:=(f*⊣f*):[C,Set]⟶f*⟵f*⟶f![D,Set],where f*=(−)∘f is the functor given by precomposition presheaves with f

Moreover, for η:f⇒g:C→D a natural transformation between two such functors there is an induced geometric transformation (f*⊣f*)⇒(g*⊣g*) presheaf toposes a 2-functor

[−,Set]:Cat→Toposfrom the 2-category Cat to the 2-category Topos. »

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