#ToposTheory le péché originel d’Alain Badiou

Voici un article d’un intérêt exceptionnel : « Alain Bediou’ mistake; two  postulates of dialectic materialism « :

https://arxiv.org/pdf/1301.1203.pdf

Il est malheureusement techniquement parlant  d’un accès assez difficile et compréhensible uniquement par les théoriciens des topoi, je vais tenter ici d’aplanir ces  difficultés afin de le rendre accessible à tout le monde.

Voici le résumé de l’article par son auteur :

»I discuss how Alain Badiou’s Logics of Worlds attempts to rephrase his material dialectic philosophical project in terms of topos theory. It turns out that his account restricts to the so called local topos theory. In particular, his claim that categorical change is not genuine is based on a constrained understanding of topos theory. We then discuss his own ‘postulate of materialism’ and demonstrate that it has two different interpretations depending on whether it is articulated in local or elementary topos theory. While the main concerns in this paper are technical, we also address the serious consequences of topos theory that weigh Badiou’s philosophical project. »

Badiou fonde ses thèses sur une sorte particulière de théorie des topoi : théorie des « topoi locaux » qui fait l’objet de cette page Nlab à propos de la notion de « morphisme géométrique local « :

https://ncatlab.org/nlab/show/local+geometric+morphism#LocalTopos

« Definition 1.2. A sheaf topos 𝒯 is a local topos if the global section geometric morphism 𝒯→Γ←LConstSet has a further right adjoint CoDisc adjoint triple (LConst⊣Γ⊣CoDisc)

CoDisc:Set↪𝒯.(As just stated, it is automatic in the case over Set that this is furthermore a full and faithful functor.)

Remark 1.3. Another way of stating this is that a Grothendieck topos is local if and only if the terminal object 1 is connected and projective (since this means precisely that Γ=hom(1,−) preserves colimits, and therefore has a right adjoint by virtue of an adjoint functor theorem). Another term for this: we say 1 is tiny (atomic). Notice the similarity to the concept of amazing right adjoint (the difference being that this is a right adjoint not to the external but to the internal hom out of 1.)«

Très  ardu  techniquement là aussi.. il suffit de retenir qu’un topos local est un topos de Grothendieck, un topos de faisceaux («  sheaf topos ») :

https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+topos

mais que l’idée de topos est plus large :

https://ncatlab.org/nlab/show/topos

https://ncatlab.org/nlab/show/topos#ElementaryTopos

«The  general notion of topos is that of

  • Elementary toposes. »
  • «What  a topos is like:’(i) ‘A topos is a category of sheaves on a site’ ( topos de Grothendieck)(ii) ‘A topos is a category with finite limits and power-objects’

    (iii) ‘A topos is (the embodiment of) an intuitionistic higher-order theory’

    (iv) ‘A topos is (the extensional essence of) a first-order (infinitary) geometric theory’

    (v) ‘A topos is a totally cocomplete object in the meta-2-category CART of cartesian (i.e. , finitely complete) categories’

    (vi) ‘A topos is a generalized space’

    (vii) ‘A topos is a semantics for intuitionistic formal systems’

    (viii) ‘A topos is a Morita equivalence class of continuous groupoids’

    (ix) ‘A topos is the category of maps of a power allegory’

    (x) ‘A topos is a category whose canonical indexing over itself is complete and well-powered’

    (xi) ‘A topos is the spatial manifestation of a giraud frame’

    (xii) ‘A topos is a setting for synthetic differential geometry’

    (xiii) ‘A topos is a setting for synthetic domain theory’,

    And so on. But the important thing about the elephant is that ‘however you approach it, it is still the same animal’. Elephant«

    Ce qui ne vise pas à diminuer l’importance exceptionnelle de la pensée de Grothendieck.

  • C’est Lawvere et Tierney qui ont transformé la notion de topos créée par Grothendieck d’ après  ses travaux et  recherches en géométrie algébrique pour arriver à la notion plus large de « topos élémentaire » :
  • http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html
  • « By 1971, Lawvere and Myles Tierney had taken Grothendieck’s original concept of topos — now called a “Grothendieck topos” — generalized and distilled it, and come up with the concept of topos I’ll talk about here. This is sometimes called an “elementary topos”, to distinguish it from Grothendieck’s notion… but often it’s just called a topos, and that’s what I’ll do.«

Des la première page de son article, l’auteur, Antti Veilahti, signale l’importance des travaux de Paul Cohen, en qui il voit un précurseur  de l’approche structurale catégorique des topoi, pour la pensée de  Badiou : car la recherche de Cohen porte sur l’incomplétude de la théorie des ensembles, mais se fonde encore sur la théorie des ensembles

https://ncatlab.org/nlab/show/Paul+J.+Cohen

http://www.normalesup.org/~cagne/cagne_rapport_ter_m1.pdf

La technique du « forcing « , inventée par Cohen, joue un rôle important dans l’oeuvre de Badiou, des « L’être et l’événement « , avec la notion de « générique »

https://journals.openedition.org/traces/7844

Voici ce qu’en dit (fin de la page 1, traduit en français par moi)

»il en résulte une ambiguïté intéressante.Premièrement, les structures de la théorie des topoi sont déjà, même implicitement, immergées dans l’argumentation de Cohen. Aussi peut on dire que cette théorie joue un rôle important (pivotal) dans « L’ être et l’évenement ». Lawvere et Tierney  ont ensuite inventé dans les années 70 en rendant explicites ces structures, qui sont immergées à l’état caché dans l’argumentation de Badiou. Il en résulte quelque chose qui va au delà du domaine de recherches de Cohen : une manière entièrement nouvelle de considérer les mathématiques . Inversement , « Logiques des mondes » l’ouvrage de Badiou qui vient après,  peut être vu comme une tentative de  fonder son propre point de vue, encore ensembliste, sur l’être mathématique.   Aussi la beauté de son premier argument, les travaux de Cohen comme prélude  à la révolution toposique, est elle condamnée par le second livre. Il doit avoir découvert la théorie des topoi  dans cet esprit qui conduit à « Logiques des mondes » . Malgré ou à cause de cela,  il se restreint à la théorie locale, seule compatible avec la théorie des ensembles »

Il en résulte deux formes du « postulat du matérialisme «  qui est au fondement des thèses de Badiou  : une qui est conforme à la théorie locale des topoi, et une autre associée à la théorie plus générale. La première version est appelée « atomique » par Antti Veilahti, la seconde désignée comme « forme faible ». Pour comprendre la différence entre ces deux doctrines du matérialisme,  Antti Veilahti propose d’adopter un point de vue catégorique pour éclairer cette dualité , point de vue qui se situe dans un cadre structurel et diagrammatique , alors que le cadre  ensembliste adopté par Badiou est appelé « dialectique » , parce que la théorie des ensembles est basée sur « le dialecte de la logique formelle » . Le point de vue catégorique est plus géométrique.

Nous retrouvons ici la double nature, géométrique et logique, de la théorie des topoi :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/07/30/la-nature-duale-de-la-theorie-des-topoi-geometrique-et-logique/

Antti Veilahti prend au sérieux l’évènement (pour utiliser la terminologie de Badiou) qu’est la théorie des catégories , alors que Badiou en reste à la théorie des ensembles. C’est là ce que j’appelle de manière parodique le « péché originel » de Badiou et de son système  : refuser d’accepter comme événement au delà de l’évènement ensembliste la théorie des catégories et des topoi, et l’évènement qui vient ensuite , HoTT, la théorie des types d’homotopie. Nous verrons que cela a des conséquences qui vont bien au delà de la philosophie mathématique .

cet article, déjà long,  aura donc une suite,  l’intérêt du travail d’Anti Veilahti le justifie amplement : j’y resterai le temps qu’il faudra.

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