#ToposTheory (suite 3) la faute de Badiou

Je suis loin d’avoir épuisé les ressources , qui semblent inépuisables, de l’article d’Antti Veilahti  «  Alain Badiou’s mistake « :

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Dans «Logiques des mondes «  Badiou aborde la théorie des topoi par le biais des T-sets, aussi appelés «Ω-sets »,  T étant une algèbre de Heyting complète : définitions en 3.1 et 3.3 pages 10 et 11. Mais il ne mentionne pas, ou ignore, l’existence de deux sortes d’algèbres de Heyting : externes et internes. Il se restreint aux externes,  qui sont des ensembles munis d’une relation d’ordre partiel satisfaisant certaines conditions ( cf définition 3.1), c’est à dire qu’encore une fois il ne retient que ce qui est « ensembliste ».

L’article suivant porte sur les Ω-ensembles:

Click to access CTGDC_1998__39_3_205_0.pdf

Ω étant un locale ou un quantale, c’est à dire la généralisation d’un locale :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quantale

https://ncatlab.org/nlab/show/locale

Algèbres de Heyting externes et internes sont explicitées sur la page NLab correspondante :

https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra

« The definition of Heyting algebra may be recast into purely equational form: add to the equational theory of lattices the inequalities (x⇒y)∧x≤y and y≤x⇒(y∧x) a≤b iff a=a∧b internal Heyting algebra in any category with products

https://ncatlab.org/nlab/show/internalization

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Heyting

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Complete_Heyting_algebra

Badiou démontre l’inexistence du Tout , voir :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/15/la-strategie-de-badiou-pour-demontrer-linexistence-du-tout/

Mais introduit un topos M  du « Tout « , qui sera généralement Le topos Set de tous les ensembles, ou la catégorie Loc de tous les locales .

»Complete Heyting algebras are the objects of three different categories; the category CHey, the category Loc of locales, and its opposite, the category Frm of frames. Although these three categories contain the same objects, they differ in their morphisms, and thus get distinct names. Only the morphisms of CHey are homomorphisms of complete Heyting algebras. »

La catégorie des T-sets, T étant une algèbre de Heyting complète, défini 3.3, page 9, ou Ω-sets comme ils sont nommés traditionnellement en logique , est définie en 4.5 page 14 : les objets sont les paires (A, Id)  où A est un ensemble et Id un « égaliseur » c’est à dire une fonction

Id : A x A ————> T

satisfaisant les conditions qui sont listées à la page 12  en 4.1 (section 4 : atomic objects )

Symétrie : Id(x,y)=Id(y,x)

transitivité : Id(x,y) ∧ Id(y,z) ≼ Id(x,z)

Il s’agit d’un topos de Grothendieck, comme catégorie de faisceaux.

Un atome d’apparaitre  est défini en 4.2 : il s’agit d’une fonction A ————> T définie sur le T-set (A,Id) respectant des conditions de la définition 4.2

La définition 4.3, page 12, explicite ce que cela signifie pour un atome, d’être réel.

Le postulat du matérialisme démocratique  s’énonce alors :

dans un T-set, tout atome d’apparaitre est réel

 

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