#∞-cosmoi #ScienceInternelle Commencement du travail de recherche sur les ∞-cosmoi de Riehl et Verity orienté vers l’Idée d’Idée ou Étendue Intelligible

Cet article récent :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2020/01/01/le-salut-cest-lelevation-de-la-conscience-a-leternite-cest-a-dire-a-limmanence-radicale-qui-est-le-pouvoir-dactualisation-de-la-reflexion-ou/

a plusieurs implications importantes sur les thèses (ou plutôt hypothèses) avancées ici.

Désormais je ne défends plus une distinction tranchée entre Idée (Non humaine) et modèles mathématiques  humains ou mathèmes de celle ci :

»les idées , dans le monde spirituel qui est l’inépuisable aujourd’hui de la connaissance, ce sont les mathèmes qui progressent « vers un ordre plus pur, plus précis et plus souple à la fois » . Cette « suite »  des mathèmes en progression vers la Perfection de l’Idée est en quelque sorte un « itinéraire de la conscience  en Dieu » , « itinerarium mentis in Deum » »

Cela ressemble à un pas en avant suivi d’un pas en arrière :

« 28inférieur clapotis quelconque comme pour disperser l’acte vide
29abruptement qui sinon
30par son mensonge
31eût fondé
32la perdition«

et l’on me fera peut être observer que «  en somme vous êtes dans le brouillard, vous ne savez pas où vous allez ni même peut être d’où vous venez «

exactement, et j’ai toujours rappelé de façon insistante le caractère absolument spéculatif des recherches menées ici, en tout cas chaque fois qu’il se produit un de ces brusques « changements de direction «  ( d’aucuns moins charitables diront « coq à l’âne » ) je précise pourquoi. En l’occurrence le pouvoir d’actualisation dont je parle ici se confond avec l’immanence radicale et je veux éliminer tout soupçon de transcendance, comme le serait une Idée qui resterait autre que ses mathèmes, et pourrait être dite « transcendante «  à ses modèles mathématiques humains.

ce qu’il s’agit d’éviter c’est cette conception de l’Un séparé qui est la malédiction de l’humanité née des « livres sacrés » comme le Coran ( Sourate 112) et prenant son origine dans le Shma’ Israël au Deutéronome 6.4 :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Chema_Israël

L’Un immanent qui s’oppose à cet « Un séparé » c’est ce « jugement du Présent éternel » que Marie Anne Cochet caractérise ainsi :

»ce jugement du présent éternel ressemble à un miroir profond où d’innombrable images naissent et se pénètrent mutuellement sans s’effacer jamais, mais en se modifiant les unes les autres par des valeurs nouvelles. Ainsi réfléchi, conservé , transformé , le mirage fluent des sens et des vies s’instaure en un monde spirituel, s’ordonne et s’unifie. Les intelligences s’y succèdent, se développant en lui et le développant à leur tour. C’est dans ce monde spirituel que nous trouvons le spectacle offert à notre réflexion. L’acte réflexif ne souffre pas d’altérations, le présent éternel ne se subdivise pas. Il est présent unitivement dans son activité . Mais les images sur lesquelles il s’exerce attendent d’un jugement toujours en progression leur cohérence, dans un ordre plus pur, plus précis et plus souple à la fois. Et ce qui s’offre à la réflexion de notre conscience, ce sont les jugements par lesquels se sont instaurés les pays humains, où sont inscrites les lois et les volontés de l’esprit, où retentissent ses appels »

à condition, selon moi, de remplacer le mot « images » par « idées » : ce qui s’offre à la réflexion de notre conscience, ce sont des idées, pas des images correspondant à des processus vitaux ayant réellement pris place dans le monde :

« ce sont les jugements par lesquels se sont instaurés les pays humains, où sont inscrites les lois et les volontés de l’esprit, où retentissent ses appels ».

Mais c’est une image , pas réaliste, mais symbolique, qui représente le mieux ce « jugement du présent éternel » ou « pouvoir d’actualisation » de l’esprit humain : l’arcane XX du Tarot, nommé justement « Le jugement «

C’est sans doute aussi la signification du « jugement dernier « :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Le_Jugement_dernier_(Michel-Ange)

Puisque ce « jugement du présent éternel » progresse » vers un ordre plus pur, plus précis, et plus souple à la fois » il doit y avoir un stade de Perfection issu de cette progression : le jugement dernier.

J’ai parlé plus haut du « caractère spéculatif des recherches menées ici «  or le mot « spéculatif » est associé à speculum = miroir, évoquant ce « miroir profond où d’innombrable images naissent et se pénètrent mutuellement sans s’effacer jamais, mais en se modifiant les unes les autres par des valeurs nouvelles. Ainsi réfléchi, conservé , transformé , le mirage fluent des sens et des vies s’instaure en un monde spirituel, s’ordonne et s’unifie.«  qui est le « jugement du présent éternel »: le « jugement dernier «  c’est l’étape correspondant à l’ordre parfait.

Récapitulons : toute Idée Intelligible a une suite de mathèmes en progression , c’est à dire qu’il existe une relation d’ordre > entre les   mathèmes telle que le maximum pour cette relation d’ordre est un mathème qui est identique à l’Idée qu’il représente ( dont il est le mathème ). En particulier l’Idée d’Un , Idée d’Idée, par laquelle toutes les Idées sont Une , appelée aussi Étendue Intelligible, a pour mathèmes les ∞-cosmoi étudiés par Emily Riehl et Dominic Verity :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/28/∞-cosmoi-riehl-verity-fibrations-and-yonedas-lemma-in-an-∞-cosmos/

Cet article de Riehl et Verity donne la définition axiomatique d’ ∞-cosmos ainsi qu’un certain nombre d’exemples d’∞-cosmoi :

https://arxiv.org/pdf/1506.05500.pdf

qCat:  ∞-cosmos des quasicatégories

Cat : ∞-cosmos des catégories

CSS ( comme « complete Segal spaces « ) : ∞-cosmos des espaces complets de Segal

Seg : ∞-cosmos des catégories de Segal

msSet : ∞-cosmos des « marked simplicial sets »

qCat a fait l’objet de travaux par Barwick et Schommer-Pries :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/11/barwick-schommer-pries-la-categorie-qcat-des-quasicategories-comme-modele-pour-la-theorie-de-lhomotopie-des-categories-superieures/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/09/the-comparison-problem-in-higher-category-theory/

travaux synthétisés dans cette figure :

 

où qCat CSS et Seg ne sont pas envisagés comme ∞-cosmoi mais comme « catégories modèles au sens de Quillen » ( Quillen model categories)

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

qCat est retenue par Barwick, Schommer-Pries et Riehl :

»les auteurs choisissent et fixent un modèle : celui , central sur le diagramme ci dessus, de la catégorie QCat des quasicatégories, qui a été étudiée à fond par André Joyal. On dispose aussi d’un article d’Emily Riehl sur la structure de modèle des quasicatégories :

https://pdfs.semanticscholar.org/73b2/4830bf47ae0e62f22a8ae2a6cc52c1120aff.pdf

Il y a aussi un article, sur le blog n-category Cafe, à propos du travail de Barwick et Schommer-Pries :

https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/the_1category_of_ncategories.html

Une quasicatégorie est ce que Lurie appelle une ∞-catégorie et en particulier l’ ∞-catégorie Spaces, qui est l’exemple paradigmatique d’∞-topos est une quasicatégorie :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/01/11/scienceinternelle-l∞-topos-s-spaces-joue-dans-le-domaine-des-∞-categories-le-role-du-1-topos-set-dans-le-domaine-des-categories/

Pour toutes ces raisons, et aussi d’ailleurs parce que les quasicatégories sont étudiées à fond par Joyal et Rezk, je concentrerai dorénavant mes travaux ( portant sur les ∞-cosmoi)     sur l’ ∞-cosmos qCat

Mais je peux dire la même chose de Cat qui a déjà été prise ici comme « modèle «  du « monde des Idées »  de Platon :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

à partir d’un article à haute teneur philosophique écrit il y a plus de 50 ans par un couple de mathématiciens qui étaient mari et femme :

The Category of categories as a model for the Platonic World of Forms

http://alpha.math.uga.edu/~davide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

Monter dans l’échelle, ou table périodique, des n-catégories, revient à ajouter de la structure, donc à progresser selon la relation d’ordre des modèles dont je parlais plus haut :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/17/scienceinternelle-7-la-table-periodique-des-n-categories/

Cela signifie que les (n+1)-catégories sont « meilleures » que les n-catégories. Les 1- catégories sont les catégories usuelles, les 0-catégories sont les ensembles.

De plus il s’agit d’un tableau à double entrée (n,k):

https://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

et monter en faisant croître n ou k revient à donner plus de structure, donc à « monter » dans la relation d’ordre dont je parlais. La prédominance va cependant à n c’est à dire qu’une n-catégorie sera meilleure qu’une h-catégorie, h<n, même si c’est une (h,l)-catégorie comparée à une (n,u)-catégorie, avec l très > u

Au sommet sont situées les ∞-catégories , meilleures que toute n-catégorie, n fini,  avec une perfection croissante avec k des ( ∞,k)-catégories

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,n)-category

Une autre échelle intéressante est celle des n-topoi .

On note nCat la catégorie des n-catégories : c’est une (n+1)- catégorie, et c’est le (n+1)-topos archétypique, Ainsi 0Cat est Set , catégorie de tous les ensembles, et c’est le topos archétypique. 1Cat , catégorie detoutes les catégories, est (notée) Cat, et c’est le 2-topos archétype

Selon Rezk :

http://conferences.leeds.ac.uk/httuf/wp-content/uploads/sites/43/2019/06/outline-and-references-higher-topos.pdf

quand Lurie écrit « ∞-catégorie » il veut dire « quasicatégorie », et c’est le cas de beaucoup, quoique pas de tous.

Ainsi si les ∞-catégories sont l’aboutissement final des catégories, « meilleures » que toute n-catégorie dans la « montée vers l’Absolu » qui est la progression vers l’Idée, cela veut dire que  les Idées Intelligibles sont les quasicatégories et que l’Etendue Intelligible s’identifie à l’∞-cosmos qCat.

On notera que j’ai abandonné la distinction entre les Idées et leurs modèles mathématiques les idées (avec un i minuscule) ou mathèmes. Les idées sont les « habitants » du monde spirituel  et elles ne sont pas forcément mathématiques, mais le monde spirituel ou « jugement du Présent éternel » est aussi caractérisé comme « pouvoir d’actualisation » et les idées qui progressent ce sont les mathèmes ; en effet la relation d’ordre est une notion intrinsèquement mathématique.

Tout Mathème est une Idée à l’état pur , « sortant de la mine », par contre des poèmes de Mallarmé  comme « Prose pour des Esseintes » ou « Un coup de dés » ou « Igitur » sont de véritables constellations d’Idées

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/23/selon-quentin-meillassoux-le-poeme-de-mallarme-un-coup-de-des-cacherait-un-code-numerique-secret/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/mallarme-prose-pour-des-esseintes/

La même chose peut être dite à propos de toute grande œuvre d’art, comme  parmi les romans « La Montagne magique » ou « À la recherche du temps perdu » . Peut on y compter aussi des œuvres cinématographiques ? Ce n’est pas moi qui vais répondre non, et j’y inclurais certaines œuvres d’Alain Resnais ou de Stanley Kubrick :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/05/16/je-taime-je-taime-alain-resnais-1968/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/09/25/hi-ro-shi-ma-cest-ton-nom-cest-mon-nom-oui-et-ton-nom-a-toi-est-nevers-nevers-en-france/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/09/13/stanley-kubrick-fear-and-desire-v-o-st-fr-1952/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/19/essai-dinterpretation-de-2001-odyssee-de-lespace-de-stanley-kubrick/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/18/kubrick-2001-odyssee-de-lespace-1968-en-vo/

 

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