#∞-cosmoi #ScienceInternelle prolégomènes aux quasicatégories et à qCat catégorie des quasicatégories

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Quasi-catégorie

Rappelons cette figure :

où qCat ,CSS ( espaces complets de Segal) , ainsi que les ∞-cosmoi des catégories de Segal et celui des catégories simpliciales sont envisagées comme catégories de modèles au sens de Quillen (« Quillen model categories  ») reliées par des équivalences de Quillen ( les couples de flèches).

On retrouve  ce diagramme sur la page du groupe de travail de Paris 13 consacré aux infinies-catégories.

les notes, très éclairantes, d’Eva Belmont, sur les quasicatégories, ont été étudiées ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/02/eva-belmont-simplicial-sets-and-quasicategories/

article qui renvoie à cet autres juste avant :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/01/towards-a-synthetic-theory-of-∞-categories-i/

à propos d’un travail de Reuben Stern introduisant aux ∞-cosmoi, dont qCat semble être un exemple canonique :

https://scholar.harvard.edu/files/rastern/files/midtermpaper.pdf

papier fait par sans doute un étudiant de Riehl et Verity qu’il vaut la peine d’étudier ici , car il a pour thèmes principaux ∞-cosmoi et quasicatégories.

une quasicatégorie , identifiée aux (∞,1)-catégories nommées ∞-catégories par Joyal et Lurie, est définie comme un ensemble simplicial obéissant à une condition supplémentaire : en anglais « every horn has a filler « et appelé » weak Kan complex »

Sur l’association étroite entre quasicatégories et ensembles simpliciaux :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

« Comme expliqué au 1.1.2 page 7, des théories plus souples (“more flexible”) font appel à d’autres cadres: “Segal categories”, “complete Segal spaces”, “model categories” (qui méritent d’être étudiées pour elles mêmes, ce qui sera fait ici). Toutes ces notions sont unifiées par André Joyal dans ce qu’il appelle les quasi-catégories, et qu’il identifie, comme Jacob Lurie, selon un coup de force impressionnant , aux (∞,1)-catégories, c’est à dire aux ∞-catégories qui forment le principal thème du livre de Lurie »

»Un ensemble simplicial est un cas particulier d’objet simplicial dans une catégorie C, c’est à dire un foncteur contravariant :

Δop → C

où C est une catégorie et Δ est la catégorie simplexe ayant pour objets les ordinaux (les nombres entiers) finis non nuls et pour flèches les fonctions préservant l’ordre voir section 4 page 9 du travail de Reuben Stern:

https://scholar.harvard.edu/files/rastern/files/midtermpaper.pdf

Un ensemble simplicial correspond au cas où C = Set catégorie des ensembles »

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_simpliciale

Le « nerf d’une catégorie » est un ensemble simplicial qui est une quasicatégorie :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nerf_(théorie_des_catégories)

Il existe une relation étroite entre théorie des catégories et topologie, ou plus précisément topologie algébrique, qui était déjà visible dans les travaux fondateurs d’Eilenberg et Mac Lane.

Une caractérisation illuminatrice des quasicatégories an sein des ensembles simpliciaux :

»In analogy to how a Kan complex is a model in terms of simplicial sets of an ∞-groupoid – also called an (∞,0)-category – a quasi-category is a model in terms of simplicial sets of an (∞,1)-category

Tirée de la page Nlab :

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

On peut aussi caractériser les quasicatégories comme modèle géométrique des (∞,1)-catégories, tandis que les complexes de Kan sont un modèle géométrique des (∞,0)-catégories, c’est à dire des ∞-groupoides.

Il y a aussi dans ces anciens articles la référence à un travail d’André Joyal, qui a beaucoup accompli pour l’investigation des quasicatégories :

https://reader.elsevier.com/reader/sd/pii/S0022404902001354?token=E70DC8E5BCFE6BDC674B0F07E5481A1926369A874E3BB5C57138E341E6B9E46AF863F18292A07F2B529E6C6667363E8A

mais, comme pour l’article de Reuben Stern, qui peut être vu comme une excellente introduction aux ∞-cosmoi, cela fera l’objet d’un prochain article.

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