#∞-cosmoi #quasicategories #HoTT Emily Riehl : synthetic theory of ∞-categories vs synthetic theory of ∞-categories

https://video.ias.edu/VoevodskyMemConf-2018/0912-EmilyRiehl

il y a le texte correspondant à la vidéo au bas de la page :

 

la différence entre les deux approches des ∞-catégories, analytique et synthétique, est expliquée pages 15-16 :

Se limiter à un « modèle «  de la notion étudiée des     ∞-catégories : qCat ( les quasicatégories) modèle choisi par Lurie, Joyal, Cisinski, Gepner-Haugseng; Rezk ( c’est à dire CSS, les espaces de Rezk ou espaces complets de Segal ) par Rasekh et Kazdhan, Seg ( les catégories de Segal) par Simpson : approche analytique

approche synthétique : travailler dans tous les « modèles «  pour y prouver des théorèmes ; il y a fondamentalement quatre « modèles «  : qCat ( la catégorie des quasicatégories) , Rezk ( les « objets de Rezk » c’est à dire CSS les espaces complets de Segal) , Segal ( les catégories de Segal) et 1-Comp ( les « complicial spaces »). Ceci pour la première approche synthétique, celle de Riehl et Verity avec la notion axiomatique d’ ∞- cosmos, qui est une axiomatisation des propriétés de qCat et des quasicatégories . Nous avons donc avec cette approche quatre sortes d’ ∞-cosmos : qCat, CSS, Segal et 1-Comp , selon un diagramme qui rappelle la figure déjà signalée et qui provient des travaux de Barwick et Schommer-Pries :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/11/barwick-schommer-pries-la-categorie-qcat-des-quasicategories-comme-modele-pour-la-theorie-de-lhomotopie-des-categories-superieures/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

figure qui est la suivante :

et qui devient dans l’article de Riehl- Schulman :

Il y a donc au total trois approches des ∞- catégories :

1- analytique, dite « pour les experts », la plus difficile, celle qui a été pratiquée par les premiers explorateurs de ce nouveau « Far West » ( Joyal , Rezk, Haugseng, … ) parce qu’avant eux aucune route n’avait été tracée

2 synthétique , dite « pour les étudiants Graduate «  , grâce à la voie des ∞-cosmoi tracée par Riehl- Verity

3 synthétique dite « pour les étudiants undergraduate « voir page 22 sur 108 :

théorie synthétique des ∞-catégories dans HoTT ( «  Homotopy type theory »): c’est la partie de Shulman

Mais bien sûr  la théorie de cette contrée sauvage n’en est encore qu’à ses balbutiements …

Ici je concentrerai mes efforts sur qCat et Cat , catégorie des petites catégories, qui est un ∞- cosmos d’après ce travail fondamental de Riehl – Verity :

Click to access 1506.05500.pdf

Exemple 2.2.4 page 11 sur 75

et Cat est aussi ce que j’ai appelé , en me basant sur le travail des époux Edwards en 1968 : modèle  mathématique ( c’est à dire mathème) du monde des idées de Platon

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

L’article fondateur des Edwards est ici :

« The Category of categories as a model for the Platonic World of Forms

Click to access The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

Son importance ne saurait être surestimée, tout ce blog sort de là , il faut toujours y revenir, comme Robinson Crusoé sur son île inconnue des cartes revient toujours au bateau sur lequel il a fait naufrage et en tire tout ce dont il pourra éventuellement avoir besoin…

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