Daniel Murfet : foundations for category theory; univers de Grothendieck

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Cet article se situe dans la lancée de :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2020/02/13/questions-de-taille-dans-la-theorie-des-categories/

Daniel Murfet déclare d’ entrée « n’être aucunement un expert «  mais rechercher « la paix de l’esprit » relativement aux questions fondationnelles en théorie des catégories. C’est tout à fait respectable. Il est facile de se rendre compte que les catégoriciens ne semblent guère  préoccupés par la rigueur mathématique et les questions qu’elle pose, ce qui est d’ailleurs considéré en général comme une supériorité de la théorie. Les « questions fondationnelles «  , déjà abordées dans l’article sur les questions de taille récemment mis en ligne, se rapportent aux bases ensemblistes de la TC , à travers une hiérarchie des collections  : ensembles, classes, conglomérats

L’auteur, Daniel Murfet, parcourt les différentes théories axiomatiques  des ensembles , ZFC ( axiomes de Zermelo-Fraenkel +axiomes du choix ) et NBG (Bernays , Gödel et Von Neumann) avant d’aborder les univers de Grothendieck en 4. L’univers est un ensemble U fixé et les ensembles « normaux » sont les éléments de U, dans une théorie des ensembles il n’y a que des ensembles, et si x est élément de A :

x ∈ A, alors x est comme A un ensemble mais la relation d’appartenance ∈ n’est pas transitive, c’est à dire que si y ∈ x, alors on n’a pas forcément y ∈ A, ce serait confondre ∈ et ⊂ : être un élément et être une partie :

x ⊂ A ( x est une partie de A) signifie que tout élément de x est élément de A

Contrairement à la relation d’appartenance ∈ la relation ⊂ est transitive, comme une relation d’ordre < à laquelle elle s’identifie d’ailleurs.

Mais c’est là que se situe, entre CT théorie des catégories et ST théorie des ensembles  , une « frontière «  que j’ai déjà évoquée ici :

https://scienceinternelle.wordpress.com/2019/02/05/theorie-des-ensembles-set-theory-st-theorie-des-categories-category-theory-ct-theorie-des-types-type-theory-tt-et-theorie-homotopique-des-types-homotopy-type-theory-hott/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/01/06/participation-a-lun-et-participation-a-letre-les-mathemes/

La théorie des ensembles apparaît au 19 eme siècle dans les travaux de Cantor, la théorie des catégories naît au milieu du 20eme siècle , inventée par Eilenberg et MacLane :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

J’interprète cette évolution à la lumière des théories de Wronski vers 1850 comme auto-révélation de l’Absolu , se produisant de manière interne au changement dans les mathématiques, mais justement après Wronski, à partir des découvertes de Cantor :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/03/ce-sont-les-mathematiques-de-mclane-lawvere-et-grothendieck-apres-1945-qui-donnent-raison-a-wronski-un-siecle-plus-tot/

Théorie des catégories et théorie des ensembles s’opposent comme théorie des universaux concrets et théorie des universaux abstraits, comme cela a été observé par David Ellerman :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Un universel est accolé à une propriété : il y a synonymie entre posséder la propriété et « participer » à l’universel correspondant.Un universel abstrait est un ensemble : participer à l’universel, c’est appartenir à l’ensemble correspondant.

La théorie interdit alors qu’un universel  participe à lui même, parce qu’aucun ensemble ne peut être élément de lui même. Donc un universel ensembliste est abstrait.

Par contre, pour ce qui concerne la théorie des catégories comme théorie des universaux, la relation de participation est l’existence d’un unique morphisme de »factorisation »  : un objet x participe à un universel u s’il existe un unique morphisme :

x ————> u

Tout universel participe alors à lui-même, de par l’existence du morphisme-identité Id(u) : u ———> u

c’est à dire que tout  universel est concret; la théorie des catégories est la théorie des universaux concrets.

Je fais le lien avec la thèse brunschvicgienne des deux dialectiques et des deux participations, participation à l’un et participation à l’être :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/01/06/participation-a-lun-et-participation-a-letre-les-mathemes/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/12/22/theorie-des-categories-internes-et-modeles-de-la-participation-a-letre-et-a-lun/

La différence entre es deux « dialectiques «  est expliquée par Brunschvicg à la fin de « Progrès de la conscience dans la philosophie occidentale «  :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/12/21/brunschvicgprogresconscience-analyse-ascendante-ou-participation-a-lun-et-synthese-descendante-ou-participation-a-letre/

sous la forme de l’opposition entre l’analyse ascendante  ( la philosophie après Descartes et la révolution épistémologique scientifique au 17 eme siècle ) et la synthèse descendante :

« 368. Cet idéalisme de la conscience et de la raison, où l’esprit devient transparent à l’esprit grâce à l’approfondissement de la réflexion sur son principe radical, n’a cessé de nous apparaître menacé, au cours de l’histoire, par l’opacité du langage qu’il est obligé d’appeler à son aide pour s’exprimer au dehors. Platon n’a pus réussi à défendre la pureté de l’analyse ascendante, de la participation à l’un, contre la tradition contradictoire de la synthèse descendante, de la participation à l’être. »

L’analyse ascendante consiste chez Descartes à remonter aux idées simples :

« Les deux seules règles de la méthode cartésienne, qui expriment les démarches proprement positives de l’esprit, sont celles qui lui apprennent à remonter jusqu’aux idées simples, autant qu’il se peut, à les combiner ensuite selon l’ordre que la raison suppose, là où il n’est pas fourni par la nature. «

les idées claires et distinctes de Descartes sont ce que j’appelle ici les « mathèmes « , modèles dans l’esprit humain des Idées divines de Malebranche, qui sont les Idées de Platon.

La participation à l’être, ou synthèse dogmatique descendante, est une concession faite à la mentalité primitive pré-cartésienne :

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/descartes-la-ligne-de-demarcation-des-temps/

Et donc un affaiblissement de la démarche ascendante, orientée du plan vital vers le plan internel :

« La participation à l’être postule la disproportion de la Créature et du Créateur ; elle part de considérants pessimistes sur l’infirmité de l’homme, et elle voudrait justifier par là l’optimisme de conclusions touchant la puissance de Dieu. Sully-Prudhomme disait à M. Albert Émile Sorel : J’en arrive à me définir Dieu simplement : ce qui me manque pour comprendre ce que je ne comprends pas » »

« La thèse de la participation à l’un signifie, par contre, que l’intelligence cesse d’interroger Dieu sur ce qui n’a de raison ni en soi ni en lui, qu’elle se transporte dans une zone de vérité où elle n’aura plus à se consulter que sur l’intelligible lui-même : alors elle trouve la récompense de son désintéressement dans une présence qui, elle, ne peut se représenter, n’étant rien d’autre que l’intériorité de la raison à la conscience.
L’esprit répond pour l’esprit ; il ne répond pas pour la matière et pour la vie, dont les origines lui échappent, non parce qu’elles sont au-dessus, mais parce qu’elles sont au-dessous de lui. L’idée véritable de la création, c’est l’idée de la création ascendante «

C’est là le sens du zig- zag sous forme des volte- face successives sur l’origine des idées : les idées sont humaines, ce sont les Mathèmes, ce ne sont pas des « modèles mathématiques «  d’Idées intelligibles transcendantes, comme je l’avais d’abord imaginé, après d’ailleurs un premier tournant, touchant au débat sur la nature du mathématicien : découvreur ou inventeur ?

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/06/le-mathematicien-decouvreur-ou-inventeur-idealisme-vs-realisme/

L’Un est une Idée,  qui est Cat, catégorie de toutes les catégories,qui peut être conçu  comme le plus haut universel. La participation de l’Un à lui même est le versant mathématique de l’unité de l’un, opposée par Brunschvicg à l’être de l’un qui est d’ordre imaginaire ( c’est l’Un séparé de l’Islam coranique ou du judaïsme d’où s’origine le Coran , responsable  de toutes les horreurs de l’histoire moderne) :

»Dieu est précisément ce chez qui l’existence ne sera pas différente de l’essence ; et cette essence ne se manifestera que du dedans grâce à l’effort de réflexion qui découvre dans le progrès indéfini dont est capable notre pensée l’éternité de l’intelligence et l’universalité de l’amour. Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène. »

Mathématiquement, cette participation n’est pas le fait que Cat soit objet d’elle même, puisque nous avons vu ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2020/02/13/questions-de-taille-dans-la-theorie-des-categories/

que Cat,catégorie de toutes les petites catégories, est une catégorie large, et que CAT, catégorie de toutes les catégories larges, est une catégorie très  large ou métacatégorie :

« Il existe une catégorie CAT de toutes les catégories larges :

https://ncatlab.org/nlab/show/CAT

CAT est une catégorie « très large », on l’appelle aussi métacatégorie :

https://ncatlab.org/nlab/show/metacategory

L’argument de Russell s’applique aux catégories comme aux ensembles :

»Of course, we cannot usually expect to have a category of all categories, for the same reasons we cannot have a set of all sets, so Cat usually denotes the category of small categories, whatever that means in your chosen foundations. Of course, Cat is then not a small category but a large category. »

Non, Cat n’est pas objet d’elle même , ni CAT :

Cat ∉ Obj ( Cat)

CAT ∉ Obj (CAT)

ce qui serait le Mathème de l’être de l’Un, qui d’après Platon et Badiou est exclu,   mais le Mathème de la participation de l’Un à lui même, de l’unité de l’Un est le foncteur identité Id (Cat) : Cat ————> Cat , qui existe et est unique selon les axiomes .

C’est là le répondant mathématique de cette « sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène. »

sommet lumineux de l’oeuvre de Brunschvicg et de toute la philosophie.

La « dialectique matérialiste «  de Badiou est ce que Brunschvicg appelle « dialectique de l’être » , c’est la pensée-selon – l’être :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/pensee-selon-letre-et-pensee-selon-lun-ensembles-categories-topoi-foncteurs/

elle correspond à la relation d’appartenance ∈ de la théorie des ensembles, qui est considérée par Badiou comme ontologie mathématique, mais au dessus d’elle se place la « dialectique de l’un » , associée à la relation de participation à un universel qui est celle de la théorie des catégories : l’existence d’un unique morphisme : x ———>u

qui aboutit à l’auto – participation de tout universel :

Id(u): u ———-> u

selon l’axiome qui garantit l’existence du morphisme-identité pourtout objet de toute catégorie.

C’est cela que signifie l’apparition de la théorie des catégories en  1945, comme  autorévélation de l’Absolu, confirmant les théories de Wronski  en 1847:

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/messianisme-union-finalede-la-philosophie-et-de-la-religion-tome-1-et-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/wronski-messianisme-ou-reforme-absolue-du-savoir-humain-tome-1/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/09/25/wronski-messianisme-ou-reforme-absolue-du-savoir-humain-tome-3/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/03/ce-sont-les-mathematiques-de-mclane-lawvere-et-grothendieck-apres-1945-qui-donnent-raison-a-wronski-un-siecle-plus-tot/

 

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