#BadiouEtreEvenementT1 #BadiouEtreEvenementT3 deux relations possibles entre multiples : appartenance ∈ et inclusion ⊂ conduisant à deux structures : présentation et représentation

C’est dans le tome 1, « L’être et l’événement «  de son Grand Œuvre, accessible ici en anglais :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/badioubeingevent/

que Badiou aborde au cours des méditations 7 « Le point d’excès «  et 8 « L’état ou métastructure et la typologie de l’être »  un point important de son système, fondé comme on sait sur la théorie axiomatique des ensembles qui est selon lui la  version cantorienne moderne de ce que la philosophie appelle depuis Aristote « ontologie » : celui de tout ensemble comme multiplicité d’éléments ( qui appartiennent à l’ensemble) ou de parties ( qui sont incluses en lui).

Il distingue entre Platon, «  qui fait essentiellement prévaloir l’Un sur le Tout » et Aristote «  qui fait le choix opposé «

»La théorie des ensembles fait clarté sur cette féconde lisière entre la relation tout/ parties et la relation un/ multiple parce qu’au fond elle les supprime l’une et l’autre. Le multiple, dont elle pense le concept sans en définir la signification n’est, pour un postcantorien, ni soutenu par l’existence de l’un ni déployé comme totalité organique. Le multiple consiste d’être sans-Un, ou multiple de multiples, et les catégories d’Aristote ( ou de Kant ) , unité ou totalité, ne peuvent servir à l’appréhender.

Pourtant, la théorie distingue entre deux relations entre multiples. Il y a la relation originaire d’appartenance   ∈, qui indique qu’un multiple est compté comme élément dans la présentation d’un autre » :   a ∈ A se lit : a est élément de l’ensemble A.

mais dans la théorie des multiples purs, il n’y a que des multiples, des ensembles et a est aussi un ensemble, par contre la relation d’appartenance n’est pas transitive :

a ∈ b et b ∈ c n’implique pas que a ∈ c

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Relation_(mathématiques)

Il y a  aussi la relation d’inclusion ⊂ ou ⊆ (inclus ou égal) : A ⊆ B se lit A est une partie, un sous-multiple de B, partie incluse ou égale à B

Cela signifie que tout élément a de A  est aussi élément de B :noté en logique :

(∀ a) : (a ∈ A)   ⇒ ( a ∈ B)

c’est en cela que la relation d’appartenance ∈ est originaire.

Mais il y a entre ces deux relation ∈ et ⊆ une différence importante  : c’est que ⊆ (inclusion ou égalité ) est :

– réflexive : pour tout ensemble A : A ⊆A ( en fait A = A)

-antisymétrique : A ⊆ B et B ⊆ A implique A = B

– transitive : A ⊆ B et B ⊆ C implique A ⊆ C

c’est une relation d’ordre :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre

Par contre la relation d’appartenance n’est ni réflexive ( aucun ensemble ne s’appartient à lui-même) ni antisymétrique ni transitive.

Une collection munie d’une relation d’ordre entre ses objets peut être vue comme une catégorie, où il y a au plus une flèche entre deux éléments si l’un est plus grand que l’autre

si A ⊆ B , alors A ≲ B, il y a une flèche de A vers B dans la catégorie : A ———> B

Seulement nous savons d’après le travail fondateur de David Ellerman:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/21/la-theorie-des-categories-est-theorie-des-universaux-concrets-celle-des-ensembles-theorie-des-universaux-abstraits-un-papier-de-david-ellerman/

que cela correspond à un changement de mode d’universalité : la théorie des ensembles est  théorie des universaux abstraits, tandis que la théorie des catégories est théorie des universaux concrets

Une propriété F se voit associer un universel uF qui la représente.

On a en outre une relation de participation μ :
L’objet x participe à l’universel uF est noté : x μ uF

La condition d’universalité que doit satisfaire uF pour être un universel associé à la propriété F est :

Pour tout x , x μ uF Si et seulement si (équivaut à ) F(x) ( x à la propriété F)

Propriété d’unicité à une équivalence près : un universel représentant la propriété F doit être unique à une équivalence près, c’est à dire que si uF et vF sont deux universaux pour une même propriété F, ils doivent être reliés par une relation d’équivalence :

uF ≈ vF

Une théorie mathématique est une théorie des universaux si elle possède une relation de participation μ et une relation d’équivalence ≈ et que certaines propriétés se voit associer des universaux respectant les conditions d’universalité et d’unicité expliquées ci dessus.
Un universel uF est dit concret s’il participe à lui même :

uF μ uF

universel abstrait dans le cas contraire.

La théorie des ensembles est la théorie des universaux abstraits

L’universel abstrait ensembliste associé à une propriété F est l’ensemble des objets x ayant cette propriété . La relation de participation est la relation d’appartenance ⋳ de la théorie des ensembles.

Par contre David Ellerman  voit la théorie des catégories comme théorie des universaux concrets, c’est à dire des universaux qui participent à eux-mêmes :

La relation de participation μ est la relation de factorisation unique : x participe à u s’il existe un unique morphisme f :

f : x → u

ce qui se lit : x se factorise de manière unique à travers u .

Or la relation d’inclusion ⊆ peut jouer le rôle d’une flèche dans la catégorie qui est la collection munie de la relation d’ordre qu’est ⊆

la réflexivité veut dire que tout universel  ( tout objet U  de la catégorie associé à la propriété F qu’il s’agit de décrire ) est concret , c’est à dire participe à lui même :

U ⊆ U

ici U est un ensemble mais cela ne fait rien à l’affaire : cela vient de ce que ⊆ est une relation d’ordre, donc peut être notée comme flèche dans une catégorie, par contre cela serait impossible avec la relation d’appartenance ∈ qui n’est pas réflexive:

la théorie des ensembles où les universaux sont les ensembles d’éléments ayant la propriété F à décrire et où la relation  de participation est la relation d’appartenance ∈  est théorie des universaux abstraits : aucun universel ne participe à lui même parce qu’aucun ensemble n’est élément de lui même

Je tiens qu’il y a là trace de la dualité entre ce que Brunschvicg appelle, à la fin du « Progrès de la conscience dans la philosophie occidentale «  : «  synthèse descendante ou participation à l’être «  et «  analyse ascendante ou participation à l’un «  :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/12/21/brunschvicgprogresconscience-analyse-ascendante-ou-participation-a-lun-et-synthese-descendante-ou-participation-a-letre/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/12/22/theorie-des-categories-internes-et-modeles-de-la-participation-a-letre-et-a-lun/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/01/06/participation-a-lun-et-participation-a-letre-les-mathemes/

qui n’est rien d’autre que la dualité entre théorie des ensembles ou ontologie et théorie des catégories ou hénologie, c’est à dire en fin de compte dualité primordiale des deux plans, naturel-vital et internel-spirituel :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/20/lopposition-entre-dialectique-de-lun-et-dialectique-de-letre-cest-lopposition-entre-theorie-des-categories-et-theorie-des-ensembles/

Le « point d’excès « «  c’est ce fait établi et démontré que si M est un multiple présenté ( par ses éléments) le multiple P(M), appelé ensemble des parties de l’ensemble M, est essentiellement beaucoup plus grand que M : Badiou insiste beaucoup, dans la méditation 7 du tome 1, sur « l’impasse réelle » à laquelle aboutit le « théorème ontologique crucial » énoncé supra : que la mesure de ce « beaucoup plus grand » est « inassignable ». Toute structure présentative , compte-Pour-Un des éléments de l’ensemble M, est doublé d’une métastructure , compte-pour-un de l’ensemble des parties P(M) : et ce passage est une opération en excès absolu sur la structure présentée, appelée situation, elle-même.

»Cet écart entre structure et métastructure, présentation et représentation, appartenance ∈ et inclusion ⊂ , est une question permanente de la pensée, une provocation intellectuelle de l’être »

Badiou y revient au tome 3 « L’immanence des vérités « , au paragraphe 3 de l’Introduction générale « un théorème ontologique concernant le fini et l’infini »: il note qu’il y a deux façons d’envisager l’immanence à un multiple (un ensemble) c’est à dire la présence d’autres multiples dans ce multiple.  On peut considérer les éléments qui composent l’ensemble , Badiou appelle cela « Immanence élémentaire », ou bien les parties de cet ensemble, incluses en lui, il appelle cela « Immanence partitive ».

Cantor a démontré à la fin du 19eme siècle, que dans tout ensemble M les parties, c’est à dire les éléments de P(M), sont « énormément plus nombreuses » que les éléments de M. Il y a deux démonstrations, l’une dans le cas où M est fini, l’autre dans le cas où M est infini, Badiou parle d’une « différence absolue «  entre les deux, et s’attache à donner les deux types de démonstration. On sait que si M est un ensemble fini à n éléments, il y a 2^n   ( 2 puissance n ) parties , éléments de P(M) , on démontre cela par récurrence, mais il existe une preuve plus élégante : soit P une partie de M, pour chacun des n éléments de deux choses l’une : soit il appartient à P ,  soit il n’est pas dans P, deux possibilités donc, soit 0 s’il n’est pas dans P soit 1 s’il est dans P. En itérant pour chacun des n éléments, il y a 2x2x… x 2 n fois façons  de choisir, ce qui fait 2 puissance n

La démonstration dûe à Cantor dans le cas infini est plus difficile, Badiou parle de « butée sur l’impossible » il souligne, après sa démonstration par récurrence  que l’on ne sort pas du fini et que la doctrine sous-jacente est que « puisque nous n’avons affaire qu’à du fini, la pensée elle-même doit obéir à des protocoles finis, en l’occurrence la loi de succession qui ordonne les entiers naturels «  loi qui est un des axiomes de Peano :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

«2 Tout  entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn qui est un entier naturel. »

Mais comme cet article est déjà long je donnerai la démonstration pour M infini dans un article suivant je voudrais juste souligner maintenant pourquoi  je me sépare de Badiou ici, et sur la finitude. Selon lui, il s’agit d’une condition imposée aux humains par la contrainte sociale, économique, idéologique ou religieuse, sur la pensée, à l’aide d’ » opérateurs de finitude » dont le principal est la condition mortelle propre aux humains , comme à tous les étants d’ailleurs. Par contre selon les thèses que je développe ici, la finitude est propre au plan vital-naturel, et quand Brunschvicg parle de «  renoncer à la mort «  :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/20/la-seule-vraie-religion/

 

«La vie est bonne absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité, au dessus de la mort.

La vraie religion est le renoncement à la mort;

elle fait que rien ne passe et rien ne meurt pour nous, pas même ceux que nous aimons; car de toute chose, de tout être qui apparaît et qui semble disparaître, elle dégage l’idéal d’unité et de perfection spirituelle, et pour toujours elle lui donne un asile dans notre âme »

 »renoncer à la mort » veut dire « renoncement à la finitude » 

c’est à dire se dégager du plan vital pour acheminer la conscience vers le plan de l’Idée qui est l’Infini . Or le plan vital,  la Nature,  est caractérisé par « l’amour du fini «  comme le note Jean-Michel Le Lannou :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/05/25/expose-de-jean-michel-le-lannou-sur-brunschvicg-la-puissance-de-lidee/

http://blog.ac-versailles.fr/oeildeminerve/index.php/post/22/06/2016/Jean-Michel-Le-Lannou%2C-L’Excès-du-représentatif%2C-coll.-«-Philosophie-»%2C-Hermann-Éditeurs%2C-Paris%2C-octobre-2015%2C-98-pages%2C-lu-par-Jean-Colrat

»Les premières lignes d’un article consacré à Bachelard et Bergson exprimaient de façon serrée l’intuition centrale de cet œuvre : « Il y a en nous, et c’est la tâche de la philosophie que de le reconnaître, un désir qui ne s’arrête pas à la déficience que nous sommes. Surgissant, il fait paraître notre identité, de fait, ou supposée – être homme – comme restrictive. Que sommes-nous selon lui ? La limitation qu’il aspire à dépasser. À l’humain, en accueillant le désir de l’immensité, nous découvrons que nous ne nous réduisons pas. Qu’exprime cette aspiration ? L’espoir de déposer l’humain dorénavant éprouvé comme détermination, momentanée et surtout trop étroite. Que nous apprend cette exigence ? Que nous n’existerons véritablement que dans et par la fidélité à cela qui, en nous, tend au dépassement de toute restriction[2]. » Nous sommes le lieu d’un désir infini qui tend à dépasser tout ce qui pourrait prétendre le contenir, y compris notre identité d’homme. L’Excès du représentatif reprend cette intuition centrale et fait de la représentation, toujours particulière et particularisante, la matrice de toute limitation. Ce titre doit donc s’entendre en un double sens, dont l’affirmation croisée trame l’ouvrage : le représentatif est excessivement dominant et contre cela, nous devons être capable d’excéder le monde de la représentation – et l’on pourrait certainement dire selon l’auteur : excéder le monde, c’est-à-dire la représentation.  «

«L’Excès du représentatif énonce dès l’ouverture cette thèse : « En notre véritable désir nous aspirons à la puissance » (p. 5). Rien de fini ne saurait satisfaire le désir humain, dont la vérité serait plutôt une essentielle insatisfaction : aussi nombreuses que soient les conquêtes de nos désirs, leur somme ne fera jamais assez. Le désir est infini, il n’est désir qu’à l’être infiniment. L’immensité et l’intensité, quasi concepts chez l’auteur, sont les modalités du désir. Qu’il puisse se satisfaire de quelque figure, finie, toujours particulière, est moins le signe de la puissance de cette figure que de l’impuissance de ce désir. Le Lannou pourrait emprunter à Raoul Vaneigem son titre Nous qui désirons sans fin, mais ce serait pour voir dans ce sans finle débordement de tout objet fini par le désir, et non le passage incessant d’une figure désirée à une nouvelle, toujours insatisfaisante, enfermée dans l’ordre du fini que le désir immense transgresse.

L’Excès du représentatif est écrit contre tout ce qui peut prétendre satisfaire le désir, contre tout consentement au fini : l’image, la figure, la représentation. À toute critique, hégélienne par excellence, qui opposerait qu’il n’y a de désir que de la particularité finie, seule réelle, l’auteur oppose qu’une telle thèse loin de justifier l’amour du fini n’en est que la conséquence auto-légitimatrice. Certes, la possibilité pour le vivant de s’arrimer à la vie suppose un resserrement initial sur les besoins particuliers, mais le désir devient adulte et même trans-humain à proportion de son pouvoir de transgresser toute particularité dans laquelle il pourrait se complaire[3]. Ce refus de tout ce qui pourrait réduire l’être désirant à la culture de ses propriétés est bien davantage que la pluralisation des moi, c’est un principe de dés-individuation ou d’impersonnalisation. Ravaisson plutôt que Taine, pour inscrire l’auteur dans une lignée qu’il revendique. Le Lannou va jusqu’à considérer que cette libération du désir dans sa puissance peut seule prétendre avoir valeur de révolution, dans des pages qui font lointainement écho au Marcuse de L’Homme unidimensionnel. En attendant que cette révolution prenne un sens politique, c’est l’art et la philosophie qui sont les possibilités essentielles de l’excès du représentatif : « Refusant l’enfermement dans la représentation, art et philosophie ouvrent, en leurs pratiques spécifiques, la nouvelle aspiration à l’intensité » «

Renoncer à la finitude est difficile, cela consiste à se « définitiser «  , à surmonter l’amour du fini, qui est attachement à la particularité.

Le salut ( terme trop « religieux » pour que Badiou en fasse usage, sans doute) consiste donc  pour l’être humain individuel à renoncer à son individualité finie (y compris temporellement parlant ) donc à la fin de celle-ci , la mort, qui ne le concerne plus s’il a renoncé à ce qui le rend fini, sa particularité singulière.

Badiou décrit cette émancipation comme une lutte sur deux fronts : premièrement, une critique radicale du dispositif onto-théologique, «  qui sauve les vérités  au prix d’une absolue transcendance de l’Un , en subsumant les multiplicités finies sous l’autorité formelle de l’Un-Infini, souvent nommé Dieu . Cette critique suppose que dans le sillage de Cantor, l’on sépare l’infini de l’Un, en posant que tout ce qui est ne peut être que dans la forme d’un multiple sans-Un. Deuxième ligne de front, on ne concédera pas qu’il faille désabsolutiser toutes les formes du multiple, ainsi détachées de l’Un. »  On ne sacrifiera pas l’absolu des vérités au profit d’un relativisme langagier ou culturel, dont le scepticisme se cache derrière un démocratisme  vague de la connaissance et de l’action ».

Badiou appelle « idéologie de la finitude »  une « triple hypostase du fini » : » 1 le fini est ce qu’il y a, ce qui est. Assumer la finitude relève du principe de réalité, qui est un principe d’obéissance aux contraintes réalistes du fini. 2 le fini détermine ce qui peut être, ce qui peut advenir. C’est le principe permettant la critique des « utopies », « illusions généreuses » et autres «  idéologies dangereuses » et 3 la finitude prescrit ce qui doit être, la forme ontologique de notre devoir, celui de respecter ce qu’il y a, c’est à dire en gros le capitalisme et la nature. C’est le principe d’autorité du fini »

Mais le point sur lequel je m’oppose à lui se situe justement dans l’écart entre les deux formes de présentation et de représentation de toute situation : entre  ce que Badiou nomme « Immanence élémentaire » ( associée au comptage des éléments présentés du multiple) et ce qu’il nomme « immanence partitive » ( comptage des parties du multiple) . »L’excès absolu «  du second par rapport au premier est celui du plan internel de l’Idée sur le plan vital de la Nature, de l’Infini sur le fini, de l’Un-infini sur l’Etre, puisque mathématiquement nous avons constaté que c’est la théorie hénologique  des catégories avec la relation d’inclusion ⊂ qui prescrit le compte des parties et la théorie ontologique  des ensembles , avec la relation d’appartenance ∈ qui régit le comptage des éléments. L’écart numérique entre les deux comptes a tout à voir avec le fait que la relation d’inclusion ⊆ est réflexive, c’est à dire que pour tout ensemble A ⊆ A , antisymétrique : si A ⊆B et B ⊆ A alors B= A et transitive : si A ⊆ B et B ⊆ C alors A ⊆ C, donc c’est une relation d’ordre , assimilable à une flèche dans une catégorie, alors que la relation d’appartenance ∈ n’a aucune de ces propriétés et notamment aucun ensemble n’est élément de lui même. Mais ceci n’est pas vrai dans d’autres systèmes axiomatiques, comme celui de Quine  «New foundations «  :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/New_Foundations

« À la différence de ZFC, on montre dans NF l’existence d’un ensemble de tous les ensembles, et la définition de Frege de la cardinalité (un cardinal comme ensemble classe d’équivalence de la relation d’équipotence) peut être utilisée. La version complète de NF permet de démontrer la négation de l’axiome du choix

Le passage du compte de la présentation , des éléments,  à celui de la représentation , des parties équivaut à un changement de plan, celui de l’ontologie, régi par la théorie des ensembles et la relation d’appartenance, qui est la théorie des universaux abstraits, à celui de l’hénologie régi par la théorie des catégories    , qui est théorie des univerbaux concrets, en résumé du plan de l’être au plan de l’Un qui est celui de l’Infini. Et cela n’a rien à voir avec les cardinaux infinis  : un très grand nombre, comme 2 puissance 540, est toujours fini, comme 540 ou 35.

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