#ToposPhysics2 Mario Tsatsos : introduction to topos physics : categories , topoi

Comme convenu, je reviens sur l’article introductif de Tsatsos chapitre par chapitre.

Les chapitres 2 et 3 consistent en rappels de notions basiques.

Une catégorie C consiste en la donnée de deux collections : celle des objets  Ob (C) et celle des morphismes qui relient les objets Mor(C)

f : A —————> B est un morphisme, une flèche de l’objet A , appelé source de f, vers l’objet B appelé cible de f

Les morphismes se composent si la cible du premier est la source du second:

f : A  —————> B

et g : B —————-> C

se composent en g°f : A ————> C

cette loi de composition étant associative : g°(f°h) = ( g°f)°h

Pour tout objet A il existe un morphisme identité 1(A) : A ————-> A

qui joue le rôle d’élément neutre pour cette loi de composition , c’est à dire :

si : f : A ————>B  alors f°1(A) = f

et 1(B)°f = f

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

Page 9 : la théorie des catégories permet de visualiser des situations complexes par des diagrammes , c’est à dire des collections d’objets reliés par des morphismes à l’intérieur d’une même catégorie :

https://ncatlab.org/nlab/show/diagram

https://unapologetic.wordpress.com/2007/06/16/diagram-categories/

D’une manière générale toutes les structures se groupent en catégories ( dénommées parfois « espèces de structures ») : ainsi des exemples de catégories sont Grp, la catégorie de tous les groupes, ou Vec catégorie de tous les espaces vectoriels, Top catégorie des espaces topologiques ou encore Ens, catégorie de tous les ensembles ( considérés comme « sans structure »)

Les pages suivantes ( 17 à 19) contiennent des définitions fondamentales, comme celles de monomorphisme ou épimorphisme, qui sont le versant catégorique des applications injectives ou surjectives entre ensembles; ainsi une flèche f : A —————-> B est dite mono

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Monomorphism

si pour tout couple de flèches g,h : C——————> A 

 

f°g =f°h implique g=h ( f est mono si elle est «  left cancellable « )

f est épi si elle est « right cancellable » : pour tout couple de flèches g,h : B———————>C

gf=hf implique g=h je note désormais gf pour g°

f est iso (ou f est un isomorphisme) si elle un inverse, c’est à dire une flèche g : B————>A  

telle que gf : A——-> A gf= 1(A)

et fg= 1(B)

Un isomorphisme est la généralisation d’une application bijective entre ensembles.

Page 18 est donnée la construction d’une notion importante, celle de « pull-back » (produit fibré), comme limite d’un diagramme figurant en haut de la page :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

La notion duale, appelée « push-out » est donc une colimite, notion duale d’une limite.

L’objet terminal est une limite, celle du diagramme vide, sa notion duale, l’objet initial, est donc une colimite.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Objet_initial_et_objet_final

Un topos est, intuitivement parlant, une catégorie qui « ressemble » à celle des ensembles, Ens (ou Set dans les livres en anglais)

La notion de problème universel est importante :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

elle se trouve déjà chez Wronski et correspond à la donnée d’un objet mathématique comme limite

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/05/lidee-de-probleme-universel-un-important-promontoire-pour-une-vision-de-lunite-de-la-mathesis/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/tag/propriete-universelle/

Étant donné un ensemble on peut former ses sous-ensembles ou parties, et l’ensemble de ses parties; de même dans un Topos, pour tout objet il existe ses sous-objets et son « power object « , analogue à l’ensemble des parties P(X) d’un ensemble X :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topos_(mathématiques)

Le classificateur de sous -objets est ce qui est aussi appelé « truth object «  et « objet transcendantal «  chez Badiou

Un sous-objet de l’objet d est un monomorphisme ayant pour cible ( range, codomain) cet objet. Cela correspond à l’application inclusion d’un sous- ensemble dans un ensemble.

La définition d’un « topos élémentaire «  est donnée page 23 :

Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue :

C’est équivalent à la définition à l’aide des objets-puissances (power-object):

Un topos est une catégorie possédant les deux propriétés suivantes :

  • toute limite fondée sur des catégories à index fini existe ;
  • tout objet a un objet puissance (c’est ce qui joue le rôle de l’ensemble des parties d’un ensemble dans la catégorie des ensembles).

La catégorie Ens des ensembles est un cas particulier de topos.

Un important investissement a été fait ici sur la notion de « topos de Grothendieck «  présenté par Laurent Lafforgue :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/16/grothendiecktopos-expose-de-laurent-lafforgue-sur-le-role-important-des-topos-de-grothendieck/amp/

et Olivia Caramello :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/25/grothendiecktopos-laurent-lafforgue-et-olivia-caramello-sur-la-dualite-des-topos-et-de-leurs-presentations/amp/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/22/une-note-de-laurent-lafforgue-sur-les-travaux-dolivia-caramello/

Je consacrerai un prochain article au chapitre 3 de l’article de Mario Tsatsos : « algebra and Logic »

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