#ToposPhysics2 Mario Tsatsos le topos comme cadre des théories de la physique

Le 2 dans #ToposPhysics2 signifie un « second passage » , plus complet, après le hashtag #ToposPhysics :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2020/11/23/tgd-toposphysics-quest-ce-que-la-geometrodynamique/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/17/mario-tsatsos-introduction-to-topos-physics/

Le dernier article du hashtag #ToposPhysics2 était :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2020/09/08/toposphysics2-mario-tsatsos-introduction-to-topos-physics-categories-topoi/

L’article de Mario Tsatsos « Introduction to topos physics  » est sur arxiv :

****https://arxiv.org/pdf/0803.2361.pdf

Nous allons nous préoccuper ici du 4, « Topos theory as a framework for theories of physics « 

Le chapitre 3 nous a appris qu’il existe en gros deux sortes de logiques, classiques et non classiques, dont les logiques intuitionnisme. Mathématiquement une logique classique peut être représentée par une algèbre de Boole :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Boole_(logique)

et une logique intuitionniste par une algèbre de Heyting :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Heyting

intuitivement, les sous- ensembles d’un ensemble sont la représentation d’une algèbre de Boole ; par contre dans un topos en général les sous objets d’un objet forment un poset ( ensemble partiellement ordonné) qui est une algèbre de Heyting : si c’est une algèbre de Boole, le topos est dit booléen. Le topos Set des ensembles est Booléen.

à chaque topos est associé un langage interne et une logique interne, qui dans le cas général est non classique, intuitionniste , sauf dans le cas d’un topos booléen.

Comme on se le rappelle, un topos est une catégorie « analogue » à la catégorie Set des ensembles : c’est pourquoi

L’utilisation de la théorie des topoi pour la physique , qui est le thème du hashtag #ToposPhysics, est donc basée sur une généralisation de la fondation de la physique classique, celle d’avant Einstein, sur le topos paradigmatique Set des ensembles

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/05/04/leon-brunschvicg-les-conditions-du-progres-spirituel-dans-la-theorie-de-la-relativite/

Et cette « unité sans couture du mathématique et du physique » qui est selon Léon Brunschvicg le message de la Relativité, a pour cadre la théorie des topoi qui n’apparaît certes qu’au 20eme siècle, plusieurs dizaines d’années après la relativité restreinte en 1905 ou générale en 1915 : « ce n’est que le soir, avant la tombée de la nuit, que la chouette de Minerve prend son envol »… chouette qui est en l’occurrence l’éléphant des topoi, évoqué dans le livre de Peter Johnstone : «  Sketches of an elephant « 

https://ncatlab.org/nlab/show/Elephant

Plusieurs sages exploraient par le toucher l’immense éléphant et concluaient que « l’éléphant c’est la trompe » ou « c’est l’oreille gigantesque » ou encore «  ce sont les pattes »…vanité de l’humaine, trop humaine sagesse ! L’éléphant c’est tout cela à la fois ! Et bien plus encore !

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/23/la-these-de-max-tegmark-our-mathematical-universe-devient-si-clair-dans-le-cadre-de-louvert/

et pourquoi l’univers, « notre univers mathématique » au sens de Max Tegmark , ne serait il pas un topos ? Le chapitre 4 de l’article de Tsatsos explique comment une théorie physique remplit son but, à savoir faire correspondre une valeur physique aux « observables » du système étudié. La valeur dépend de l’état du système, on a donc une fonction partant de l’espace des états et allant vers l’espace des valeurs., comme nous l’appellerons. Dans l’ approche par la « toposphysics » ces deux espaces sont deux objets du topos associé au système : un objet S dit «  des états » et un objet R dit des «  valeurs de quantités ».

une quantité physique est représentée par un morphisme du topos, et une proposition est représentée par un sous-objet de l’objet S des états, regroupant tous les états du système où cette proposition est valide.

Dans le cas de la physique classique, celle d’avant le 20eme siècle, le topos associé est Set, l’espace des états est un ensemble S, les quantités physiques sont représentées par des fonctions à valeurs dans R :

S ————-> R

et les propositions par des sous- ensembles de l’ensemble S.

 

Le topos Set est booléen , le sous ensembles d’un ensemble des états forment une algèbre de Boole, on en déduit le caractère classique de la logique des propositions, par contre l’objet V des «  valeurs de quantités «  n’est pas forcément la droite réelle R.

Le langage PL (S) associé est construit ainsi : les propositions primitives sont de la forme

A ∈ B

où A est une quantité physique du système et B est un borélien de la droite réelle. Les phrases du langage PL (S) sont construites en combinant les propositions primitives à l’aide de quatre connecteurs : implication, conjonction, disjonction et négation.

Ce langage abstrait peut être représenté, suivant les idées exposées en 3.5, dans une algèbre qui dans le cas le plus général sera une algèbre de Heyting, ce qui nous oriente là encore vers la notion de topos, où nous savons que pour tout objet les sous objets forment une algèbre de Heyting ( une algèbre de Boole si le topos est booléen , comme c’est le cas de Set, le topos paradigmatique des ensembles)

Une représentation est alors une flèche qui envoie les « propositions primitives » de PL( S) sur une algèbre de Heyting: dans le cas classique les propositions seront vraies ou fausses, mais ce ne sera plus le cas dans un topos quantique

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/quantum-topos/

L’article donne en fin de 4 un exemple concret, celui d’un système limité à une particule se mouvant dans un espace unidimensionnel

selon la mécanique classique le système est décrit par l’hamiltonien : l’exemple de l’article est alors identique à celui de la particule élémentaire sur un axe dans la page qui suit :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Mécanique_hamiltonienne

L’espace des états est alors R^2 , correspondant au domaine de variations de p et q dans H(p,q)

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