Jardine : Categorical homotopy theory

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.hha/1140012467

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L’ordre venu de la pierre : TU DOIS CHANGER TA VIE

Peter Sloterdijk a choisi le titre de son livre « Tu dois changer ta vie » d’après un poème de Rilke « Torse archaïque d’Apollon « 

http://la-philosophie-au-programme.blogspot.com/2014/01/rilke-sloterdijk-tu-dois-changer-ta-vie.html

« TORSE ARCHAIQUE D’APOLLON

Nous n’avons pas connu sa tête prodigieuse
où les pupilles mûrissaient. Mais son torse
encore luit ainsi qu’un candélabre
dans lequel son regard, vrillé vers l’intérieur,

se fixe et étincelle. Sinon, tu ne serais
ébloui par la poupe du sein, et la légère
Avolte des reins ne serait parcourue du sourire
qui s’en va vers ce centre où s’érigea le sexe.

Et la pierre sinon, écourtée, déformée,
serait soumise sous le linteau diaphane des épaules
et ne scintillerait comme fourrure fauve

ni ne déborderait de toutes ses limites
comme une étoile : car il n’y est de point
qui ne te voie. Tu dois changer ta vie. »

Voici ce que dit Sloterdijk :

« Ce qu’il y a de mystérieux en elle, ce n’est pas seulement le fait que rien ne la prépare, sa soudaineté. “Tu dois changer ta vie” – cela semble provenir d’une sphère dans laquelle on ne peut émettre aucune objection. On ne peut pas décider non plus de quelle position est prononcée cette phrase, mais sa verticalité absolue ne fait aucun doute. On ne sait pas si ces mots jaillissent tout droit du sol pour me barrer le chemin à la manière d’un pilier, ou s’ils tombent du ciel pour transformer le sol devant moi en un abîme, si bien que mon pas suivant devrait déjà s’inscrire dans cette vie transformée que l’on réclame.”

Cette « sphère dans laquelle on ne peut émettre aucune objection » est le plan spirituel , ou le « est «  cède la place au « doit être « 

C’est aussi dans le splendide film « High Noon » que l’opposition , ou dualité , fondamentale entre plan vital et plan spirituel est mise en scène :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/05/26/brunschvicgraisonreligion-exemple-3-des-oppositions-fondamentales-high-noon-de-fred-zinneman-1952/

Le shérif Will Kane (Gary Cooper) qui vient de se marier , quitte sa jeune épouse non pas pour une vaine gloriole, ou pour se soumettre au commandement d’un Dieu imaginaire ( c’est sa femme qui en tant que quaker est « croyante ») mais au nom du « Il le faut » , caractéristique du plan de l’Idée.

Un autre exemple de cette dualité est celui du vieux Marine dans le splendide poème de Coleridge « Rime of the ancient mariner « 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/05/27/brunschvicgraisonreligion-exemple-4-des-opositions-fondamentales-le-dit-du-vieux-marin-de-coleridge/

Qu’est ce qui rapproche ces deux personnages si dissemblables, le shérif du film de Fred Zinneman et le vieux marin de Coleridge ? c’est qu’au retour de son errance solitaire parmi les sortilèges des mers, le marin se détourne de la maison du marié de même que Will Kane juste marié se détourne du mariage pour affronter les bandits de Miller : or le plan vital est celui de la génération donc tous deux si dissemblables qu’ils soient méprisent le plan vital des générations qui se succèdent.

« Tu dois changer ta vie » exprime la prédominance du plan du « Il le faut » , du « devoir être « , sur le plan du simple fait, du « c’est ainsi »: il est précédé par l’énigmatique :

« Car il n’y est de point qui ne te voie »

qui évoque la vision de l’Apocalypse 4, les quatre êtres « remplis d’yeux devant et derrière «  , qui dérivent de la vision d’Isaie :

http://saintebible.com/isaiah/6-2.htm

http://saintebible.com/revelation/4-8.htm

Malgré sa construction sybilline, le mouvement du poème peut se résumer ainsi :

le reliquat de la statue archaïque (il ne reste que le torse) luit , illumine celui qui l’a regarde, et son regard étincelle, vrillé vers l’intérieur (car le visage de la statue, avec les yeux’, a disparu) . Car sinon la pierre de la statue ne déborderait pas toutes ses limites. (Mais ce n’est pas le cas, dans le monde des faits) car il n’y est de point qui ne te voie, dans ce regard vrillé vers l’intérieur, tout »point » est regard et te voit. (Donc) tu dois changer ta vie : ce plan de l’oeuvre d’art où tout point est regard dirigé vers toi excède toute limite, toute finitude et transcende complètement le plan du monde où se déroule ce que tu appelles ta vie personnelle et individuelle . Dans le monde chacun met sa vie personnelle et particulière au dessus de tout, mais il y a un plan supérieur au monde, le monde suprasensible du « devoir être », de l’obligation (appelée obligation morale ici bas) , un plan spirituel auquel donne accès l’œuvre d’art, qui ne se limite pas à la pierre tirée du monde qui la constitue, mais déborde toute limite. Ce que tu appelles ta vie est une de ces limites qui sont débordées par l’oeuvre d’art , donc si tu médites correctement , ainsi que te l’enseigne le poème, sur l’oeuvre d’art même brisée qu’est la statue antique, tu sais que cette limite qu’est ta vie peut être niée et « changée » . Et c’est seulement parce qu’il y a ce plan du « il faut », du « tu dois » que ce monde de ta vie factuelle n’est pas le dernier mot :

TU DOIS CHANGER TA VIE .

justement parce que ta vie telle qu’elle se déroule dans le monde des faits, n’est pas le dernier mot, il y a un monde supérieur au delà , le monde du « tu dois »

Le poème ne dit au fond pas autre chose que la fin de la phénoménologie de l’Esprit de Hegel, qui était tirée d’un poème de Schiller , il me semble, tout au moins la dernière ligne :

« Leur conservation, sous l’aspect de leur être-là libre se manifestant dans la forme de la contingence, est l’histoire ; mais sous l’aspect de leur organisation conceptuelle, elle est la science du savoir phénoménal. Les deux aspects réunis, en d’autres termes l’histoire conçue, forment la récollection et le calvaire de l’esprit absolu, l’effectivité, la vérité et la certitude de son trône, sans lequel il serait la solitude sans vie ; et c’est seulement ”du calice de ce royaume des esprits que monte jusqu’à lui l’écume de sa propre infinité » »

https://fr.m.wikisource.org/wiki/Poésies_de_Schiller/L’Amitié

« Point «  est une notion mathématique, donc une Idée , qui n’est pas. Un point a une extension nulle, il n’y a pas de point dans le monde, un point se situe sur le plan de l’Idée, où tout est regard, dirigé vers « toi », et ce regard est justement l’obligation dont parlait Emmanuel Lévinas

https://journals.openedition.org/questionsdecommunication/2196

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#HigherCategoryTheory Marco Grandis et Robert Paré : intercategories

Cet article est une bonne introduction aux intercatégories et catégories triples ou doubles:

https://arxiv.org/pdf/1412.0144.pdf

https://home.sandiego.edu/~shulman/cmshighercategories2013/Pare.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/intercategory

On trouve donc (Page 1) trois sortes de morphismes : transversal, horizontal, vertical, d’où trois catégories différentes associées

Une catégorie triple est une catégorie interne à la catégorie des catégories doubles, qui sont elles mêmes des catégories internes à Cat, la catégorie des catégories, qui peut être vue comme une 2-catégorie :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

La construction de quintettes évoquée page 1 est dûe à Ehresmann :

https://ncatlab.org/nlab/show/quintet+construction

Elle permet de former, à partir d’une 2-catégorie, une catégorie double :
Les objets (0-cells) sont conservés, les morphismes horizontaux ou verticaux sont les morphismes de la 2-catégorie, et les 2-morphismes sont les 2-morphismes entre compositions de 1-morphismes dans la 2-catégorie de départ.

Cela a conduit Dominic Verity à l’idée de bicatégorie double :

https://ncatlab.org/nlab/show/double+bicategory

(Une bicatégorie est une 2-catégorie non stricte, où l’associativité ou l’élément neutre de la composition de flèches ne sont pas définies par des égalités strictes). Une bicatégorie double peut être vue comme une intercatégorie particulière.

La figure de la page 3,représente un cube, constituant de base à 3 dimensions de l’intercatégorie.

Sur ce diagramme les objets (0-cells) sont A, B, A’, B’ les flèches obliques sont f, g,.. les flèches horizontales sont h, h’… les flèches verticales sont
v, v’..

Il y a trois sortes de carrés (structures à 2 dimensions ) :

horizontal (sur la figure φ ) vertical ( ψ ) et basique (α‘)

et une seule sorte de cube (3 dimensions )

Il y a de même trois sortes de composition, décrites page 3 : transversale, horizontale et verticale.

Les combinaisons de structures transversales et horizontales, puis transversales et verticales ménent à des caégories doubles, tandis que la combinaison de compositions horizontale et verticale est sujette à la loi d’interchangement, dont la formule est explicitée page 4. Cette formule conduit à des interchangements spéciaux qui sont des cubes, vus comme des 3-morphismes entre carrés allant de l’arrière vers l’avant , ainsi la figure page 4 représente l’interchangement

μ : idv * idu → idv*u

Où * est la composition verticale ( Haut de la page 4)

idv et idu sont des carrés , leur composition conduit à

idv*u et cette composition μ est représentée par le cube à la fin de la page 4

Le paragraphe 2 page 6 donne un rappel sur les catégories doubles, à partir de l’article :

http://www.numdam.org/article/CTGDC_2004__45_3_193_0.pdf

Avec la catégorie Dbl dont les objets sont les catégories doubles (weak = faible signifie que l’on n’a pas des égalités strictes, mais à un isomorphisme près) : les flèches horizontales sont les « lax functors »:

https://ncatlab.org/nlab/show/lax+functor

Les flèches verticales sont les foncteurs colax qui sont en adjonction avec les foncteurs lax :

http://www.numdam.org/article/CTGDC_2004__45_3_193_0.pdf

De Dbl on extrait deux 2-catégories LxDbl et CxDbl en limitant les flèches verticales (resp horizontales ) à être des identités.

Le paragraphe 3 page 9 fait appel à la notion de pseudocatégorie dans une 2-catégorie qui est l’objet de cet article :

https://arxiv.org/abs/math/0604549

NB : Une pseudocatégorie dans la 2-catégorie Cat est une catégorie double faible (weak double category)

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

définition 3.2 page 10 :

Les intercatégories horizontales sont des pseudocatégories dans la 2-catégorie LxDbl. Cf la définition 3.1 page 9 d’un objet pseudocatégorie dans une 2-catégorie A

Définition 3.3 page 11 : une intercatégorie verticale est une pseudocatégorie dans LxDbl

La troisième structure qui « modélise » la notion d’intercatégorie est plus symétrique que les deux précédentes : c’est celle de double pseudocatégorie dans Cat (paragraphe 4)

Le théorème 4.1 page démontre que ces trois structures représentent (sont les modèles de) une seule et même Idée (« are the same ») c’est à dire sont spécifiées par les mêmes données et ont les mêmes propriétés

Le théorème 6.3 page 33 spécifie une catégorie triple ICat ayant pour objets les intercatégories.

Les flèches transversales sont les morphismes colax-lax; les flèches horizontales sont les morphismes lax-lax et les flèches verticales sont les morphismes colax-colax; les trois sortes de 2-morphismes sont explicités avant, page 32.
Il reste , pour les 3-cellules (triple cells) , les cubes commutant (une seule sorte ) , qui sont explicités après, page 33-34.

Tout cela est un peu compliqué , voire confus sans les diagrammes , qui sont trop complexes pour que je les reproduise, mais il y a cette conférence de Paré qui donne des exemples d’intercatégories :

https://www.mscs.dal.ca/~pare/ICExamples.pdf

Une autre version, plus simple à lire, du travail étudié ici, est :

https://www.mscs.dal.ca/~pare/Intercategory(Beamer).pdf

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Le blog « Theoretical atlas » de Jeffrey Morton

https://theoreticalatlas.wordpress.com

La citation est tirée de Lewis Carroll :

https://bigthink.com/strange-maps/93-lewis-carrolls-ocean-chart

« He had bought a large map representing the sea, Without the least vestige of land: And the crew were much pleased when they found it to be A map they could all understand.« 

Articles avec le mot clé « double categories « 

https://theoreticalatlas.wordpress.com/category/higher-dimensional-algebra/double-categories/

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Le système de Raymond Abellio : la structure absolue ou sphère sénaire universelle

http://www.elishean.fr/kabbale-et-guematrie-le-systeme-de-r-abellio/

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#HigherCategoryTheory catégories doubles et triples, multiples, intercatégories, polycatégories, multicatégories , PROP

Jusqu’ici nous avons croisé les catégories supérieures surtout à travers le livre de Jacob Lurie dans le hashtag #HigherToposTheory

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/19/highertopostheory-un-nouveau-guide-de-lecture/

mais il existe une autre manière de concevoir la progression vers les n-catégories et les ∞-catégories, comme cet article de Paré et Grandis le précise :

https://www.mscs.dal.ca/~pare/Mlc1.pdf

La première manière, plus connue, est appelée « forme globulaire » page 1 de l’article.

La deuxième forme est plus générale et dûe à l’école de Charles Ehresmann (1905-1979) qui est associée aux « Cahiers de topologie et de géométrie différentielle catégoriques » qui est lisible en totalité sur le site Numdam ( c’est Andrée Ehresmann, veuve de Charles, qui gère la collection):

http://www.numdam.org/journals/CTGDC

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Charles_Ehresmann

Ce sont les catégories multiples, qui commencent avec les catégories doubles, puis triples, etc…

https://ncatlab.org/nlab/show/double+category

Une catégorie double est un objet interne à Cat, la catégorie des caégories; voir cet ancien article sur la notion très importante de catégorie interne à une autre:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/09/21/categories-internes-internal-category-theory/

Une catégorie « ordinaire » est une catégorie interne à la catégorie Set des ensembles.

Un théorème stipule un Interdit analogue à celui de Russell pour l’ensemble de tous les ensembles ; il ne peut exister de catégorie interne à elle même :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/01/une-categorie-interne-a-elle-meme/

Une catégorie triple est définie comme catégorie interne à la catégorie des caégories doubles:

https://ncatlab.org/nlab/show/triple+category

et on monte par le même principe l’échelle des catégories multiples : une catégorie multiple de rang n est interne à la catégorie des catégories multiples de rang n-1 :

https://ncatlab.org/nlab/show/n-fold+category

Une catégorie multiple de rang n est une version stricte d’une n-catégorie :

https://ncatlab.org/nlab/show/n-category

la composition des flèches est strictement associative et unitaire (la composition avec la flèche identité est commutative et laisse invariante n’importe quel morphisme), on a des égalités strictes, et non pas à un isomorphisme près .

Les intercatégories sont des catégories triples particulières :

https://ncatlab.org/nlab/show/intercategory

Une catégorie double a deux sortes de morphismes : horizontal et vertical, voir :

http://www.numdam.org/article/CTGDC_2004__45_3_193_0.pdf

C’est expliqué page 4 sur 49 paragraphe 1.1 « Basics » qui présente deux compositions, des flèches horizontales et des flèches verticales. Il y a en plus les carrés, qui peuvent être vus comme des 2-morphismes (« double celles »), qui se composent entre eux, le bord d’un carré est composé de deux flèches horizontales et deux flèches verticales , voir Page 4 la figure 1, le carré α est constitué des deux flèches verticales u et v et des deux flèches horizontales f et g et s’écrit :

f
(u v )
g
Dans une intercatégorie, il y a les objets (0-cells ) , trois sorte de morphismes (1-cells) : transversal, horizontal, vertical, trois sortes de 2-morphismes, les carrés et une sorte de 3-morphisme entre les carrés : les cubes

Un bon article sur les intercatégories est celui de Paré et Grandis , d’où sont issues les figures ci dessus :

https://arxiv.org/pdf/1412.0212.pdf

et bien sûr la page Nlab qui a déjà été donnée:

https://ncatlab.org/nlab/show/intercategory qui donne le lien vers un autre article :

https://arxiv.org/pdf/1412.0144.pdf

Citons aussi le livre de Grandis « Directed algebraic topology « 

http://www.dima.unige.it/~grandis/Bk.XXDATXX.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/Directed+Algebraic+Topology

Dans une multicatégorie un morphisme relis un seul objet à une collection de plusieurs objets :

https://ncatlab.org/nlab/show/multicategory

Dans une polycatégories, une liste finie de plusieurs objets peut être reliée à une autre collection de plusieurs objets :

https://ncatlab.org/nlab/show/polycategory

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Nouveau lien pour voir « The Master » de Paul Thomas Anderson

Le lien que j’avais donné ici

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/08/08/paul-thomas-anderson-the-master-2012-vf/

ne fonctionne plus, mais celui ci marche :

https://m.ok.ru/video/226775337659

Ce film est un chef d’oeuvre, Freddy Quell est admirablement joué par Joaquin Phoenix, et Lancaster Dodd par Philip Seymour Hoffman.
On comprend à la fin que lui et Lancaster Dodd (le Maître) se rejoignent dans le refus de toute autorité , c’est d’ailleurs pour cette raison qu’on devient chef de secte(il vaut mieux régner sur les autres plutôt qu’ils ne règnent sur vous ) ce qui correspond au dire de Satan dans « Le paradis perdu » de Milton:

« Mieux vaut régner en enfer que servir au ciel « 

C’est idiot : que j’admette la démonstration par Wiles du théorème de Fermat ne veut pas dire que je révère l’autorité, en général , de Wiles

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