Category Theory for Programmers: The Preface

  Bartosz Milewski's Programming Cafe

Table of Contents

Part One

  1. Category: The Essence of Composition
  2. Types and Functions
  3. Categories Great and Small
  4. Kleisli Categories
  5. Products and Coproducts
  6. Simple Algebraic Data Types
  7. Functors
  8. Functoriality
  9. Function Types
  10. Natural Transformations

Part Two

  1. Declarative Programming
  2. Limits and Colimits
  3. Free Monoids
  4. Representable Functors
  5. The Yoneda Lemma
  6. Yoneda Embedding

Part Three

  1. It’s All About Morphisms
  2. Adjunctions
  3. Free/Forgetful Adjunctions
  4. Monads: Programmer’s Definition
  5. Monads and Effects
  6. Monads Categorically
  7. Comonads
  8. F-Algebras
  9. Algebras for Monads
  10. Ends and Coends
  11. Kan Extensions
  12. Enriched Categories
  13. Topoi
  14. Lawvere Theories
  15. Monads, Monoids, and Categories

There is a pdf version of this book with nicer typesetting available for download.

You may also watch me teaching this material to a live audience.

Preface

For some time now I’ve been floating the idea of writing a book about category theory that would be targeted at programmers. Mind you, not computer scientists but programmers — engineers rather than scientists. I know this sounds crazy…

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Representing physical systems as Chu spaces

https://www.cs.ox.ac.uk/files/2372/RR-09-08.pdf

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#HoTT expressing « the structure of » in homotopy type theory

https://ncatlab.org/davidcorfield/show/Expressing+%27The+Structure+of%27+in+Homotopy+Type+Theory

Accès à l’article en cliquant sur « final draft « 

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Trinité et quaternité

https://www.erudit.org/fr/revues/ltp/2001-v57-n2-ltp2170/401352ar.pdf

Le début de « Fondements logiques de la physique » où Robert Lutz et Jean François Froger développent le projet d’une nouvelle science à partir de fondements métaphysiques sur la nature de la réalité :

http://livre.prologuenumerique.ca/telechargement/extrait.cfm?ISBN=9782915418699&type=pdf

http://www.adverbum.fr/editions-desiris/jean-francois-froger-et-robert-lutz/structure-de-la-connaissance_2791.html

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Silencieuse étincelle glacée

http://www.jukebox.fr/claude-nougaro/clip,la-neige,q8kprp.html

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Diagrammes commutatifs en théorie des catégories

Soit K une catégorie, et A, B,C,D des objets de K. A partir de K on peut former une nouvelle catégorie W dont les objets seront les morphismes de K c’est à dire les couples d’objets de K reliés par une flèche.

Je crois que Goldblatt en donne un exemple dans son livre très pédagogique « Topoi: the categorial analysis of Logic «  que l’on peut étudier gratuitement ici :

http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=math;cc=math;rgn=full%20text;idno=gold010;didno=gold010;view=image;seq=15;node=gold010%3A5

Quels seront les morphismes de la nouvelle catégorie W , entre deux objets de cette catégorie, c’est à dire entre deux morphismes de l’ancienne catégorie K ?

Ce seront des couples de morphismes rendant le « carrécommutatif » dans K

Sur la figure suivante on comprend mieux :

Les deux morphismes de l’ancienne catégorie K sont les deux flèches horizontales f , reliant À et B et k reliant C et D

Un morphisme reliant f à k dans la nouvelle catégorie K sera constitué par un couple de morphismes g , reliant A à C et h reliant B à D tels que le carré soit commutatif, c’est à dire tels que :

hf = kg

(Le produit dans l’équation ci dessus désigne la loi de composition des flèches dans K)

Cette figure est extraite de cette page Wikipédia :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Commutative_diagram

Il y a aussi une page Nlab sur les carrés commutatifs:

https://ncatlab.org/nlab/show/commutative+square

Ainsi il n’y a peut être pas à réinventer et bouleverser de fond en comble la théorie des catégories, qui se prête très bien aux quaternités et même plus (diagrammes hexagonaux, octogonaux, etc..)

D’ailleurs la quaternité n’est peut être que la représentation plane de la sphère sénaire universelle, structure absolue de Raymond Abellio:

http://www.gouttelettes-de-rosee.ch/pages/archives-kabbale/entretien-avec-raymond-abellio-par-philippe-pissier-et-jeremie-a-weish.html

http://www.rencontres-abellio.org/rencontres/2012/Structure%20absolue_premières%20portes.pdf

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D’autres quaternités intéressantes

Le créateur du blog « Equivalent exchange » est venu m’indiquer d’autres types de quaternité sur dans son blog ( en tout cas ce sont les trois articles de son blog qui sont mis en évidence par WordPress):

La plus importante étant à mon sens celle dans l’oeuvre de William Blake:

https://equivalentexchange.wordpress.com/2011/08/26/william-blakes-four-zoas/

Comme aussi les quatre impératifs transcendantaux de Bernard Lonergan (que je ne connais pas) qui est semble t’il Thomiste:

https://equivalentexchange.wordpress.com/2015/12/09/the-four-transcendental-imperatives-of-bernard-lonergan/

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Bernard_Lonergan

https://ustpaul.ca/fr/centre-lonergan-qui-est-bernard-lonergan_480_279.htm

https://www.bernardlonergan.com

ainsi que les quatre modèles culturels de Fons Trompenaars ( que je ne connais pas non plus):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fons_Trompenaars

https://equivalentexchange.wordpress.com/2015/12/18/the-four-cultures-model-of-fons-trompenaars/

La Tour Eiffel apparaît comme mixte entre hiérarchie (hierarchy) et œuvre (Task)

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