Hegel : unité des contraires et son modèle mathématique sur Nlab

« Pour aller là où tu ne sais pas, il te faut passer par où tu ne sais pas »

Le thème de la « coincidentia oppositorum « , présent chez Nicolas de Cuse déj, n’a pas bonne presse en logique, à cause du principe «EFQ» ( « ex falso quodlibet « ) :

D’une contradiction, notée F (le faux), c’est à dire de la négation et de l’affirmation simultanée d’une même proposition P, on peut déduire tout, le vrai comme le faux, c’est à dire que tout est démontrable dans un système qui contient une contradiction : un tel système axiomatique, où tout est démontrablement vrai, n’a aucun intérêt.

Toute la Grande Logique de Hegel peut être formalisée dans le cadre de la théorie des catégories et des ∞-catégories, et dans la théorie des types homotopiques , la « traduction » est donnée dans le passage « formalization  dictionnary «  :

https://ncatlab.org/nlab/show/Science+of+Logic#FormalizationDictionary

comme cela est expliqué dans le paragraphe 1 « Formalization in Categorical logic »:

https://ncatlab.org/nlab/show/Science+of+Logic#FormalizationText

selon la remarque nPov (point of view):

nPOV. Therefore, while going through Hegel’s text, this page here attempts to spell out as much as seems possible the translation of the system to a category-theoretic or modal type-theoretic formalization (an “nPOV”). The way this formalization works in general is surveyed below in Formalization in categorical logic / in Modal type theory; a dictionary version of the formalization that we arrive at is in The formalization dictionary; and diagram showing the resulting process is in Survey diagram.

qui découle des travaux de Lawvere :

»Lawvere 92: It is my belief that in the next decade and in the next century the technical advances forged by category theorists will be of value to dialectical philosophy, lending precise form with disputable mathematical models to ancient philosophical distinctions such as general vs. particular, objective vs. subjective, being vs. becoming, space vs. quantity, equality vs. difference, quantitative vs. qualitative etc. In turn the explicit attention by mathematicians to such philosophical questions is necessary to achieve the goal of making mathematics (and hence other sciences) more widely learnable and useable. Of course this will require that philosophers learn mathematics and that mathematicians learn philosophy. »

ce qui est appelé « logique subjective » correspond à  la logique au sens propre , syllogistique et à la logique formelle, la « logique objective «  est le Logos :

https://ncatlab.org/nlab/show/objective+and+subjective+logic

Un concept ( Begriff) ou une notion correspond dans HoTT à un type, un jugement (urteil) à une assertion selon laquelle un terme appartient à un type :

c:C

»The explicit statement “a type is a concept” appears for instance (referring both to types of mathematical objects as well as to data types in computer science) in:

  • Arthur Sale, Primitive data types, The Australian Computer Journal, Vol. 9, No. 2, July 1977 (pdf)

The explicit statement “a type is a ‘mathematical’ concept” appears on p. 6 of

  • Francis Sergeraert, The computability problem in algebraic topology, Advances in mathematics 104, 1-29, 1994 pdf

and with explicit reference to type theory in

  • Giuseppe Primiero, Information and knowledge: A constructive type-theoretical approach, Springer (2008)

where it says on page 129:

Types are general concepts: This statement represents the main conceptual basis of the whole idea of using CTT [constructive type theory] as a language to formalize knowledge processes.

as well as

  • Nicholas Asher, A Web of Words, Lexical Meaning in Context, Cambridge University Press (2011) (pdf)

where it says on pages 37/38:

[…] this leads us to the hypothesis that types are concepts.

With explicit reference to homotopy type theory the proposal that “type” should be read as a “concept” is voiced in

Hence the types of type theory may be thought of as a formalization of concepts. On the other hand, concepts have famously been identified with the predicates in Aristotelian logic:

Concepts … serve as predicates of possible judgements. (Critique of Pure Reason A69/B94) »

Théorie homotopique des types et théorie des catégories sont étroitement liées, comme syntaxe et sémantique:

https://ncatlab.org/nlab/show/relation+between+type+theory+and+category+theory

L’Aufhebung ( sursomption, relèvement ) est interprétée grâce à la mathématique des topoi de Lawvere :

https://ncatlab.org/nlab/show/Aufhebung

et l’unité des contraires, si décriée,  trouve un cadre rationnel dans l’adjonction :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality

C’est la célèbre thèse de l’identité de l’être et du néant , dans le devenir :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality#Werden

Le « Dasein «  ( « être là » interprété par Heidegger comme « être le là « ) interprété dans Nlab comme « être déterminé » , c’est à dire nié et limité puisque « omnis determinatio est negatio « , est l’Aufhebung du devenir comme identité de l’être et du néant :

https://ncatlab.org/nlab/show/Dasein

Une catégorie de l’ être, au sens vague, correspond à une catégorie mathématique :

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+being

L’importance fondamentale de l’adjonction , cadre pour l’unité des contraires, est ainsi confirmée :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

ainsi que celle des triplets et quadruplets d’adjonctions :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

notion dûe à Lawvere :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

Hegel est l’exemple typique d’une dialectique de l’un interprétée dans les termes du  Logos de l’être :

https://ncatlab.org/nlab/show/Georg+Hegel

ce qui provoque une dérive vers le mysticisme :

https://ncatlab.org/nlab/show/mysticism

Mais, comme le dit Brunschvicg dans « Vraie et fausse conversion »:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/brunschvicg_conversion.doc#c1

« La première précaution à prendre, quand on aborde le problème de la raison, c’est de ne pas faire de l’éléatisme une solution ; le point de départ devra être, au contraire, la rupture de cette solution apparente par l’argumentation « parricide » du Parménide platonicien.« 

Ce parricide s’énonce : «  Ens et unum non convertuntur »

»Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. »

»

L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un . »

 Là encore , dans son interprétation du Parménide, Badiou suit Brunschvicg sans jamais le nommer . Il y a là un mensonge par omission qui est insupportable.

La conversion véritable est conversion à l’un, passant par dessus les fausses imaginations de la conversion à la dialectique de l’être , en choisissant la théorie des catégories et la théorie des types homotopiques , plutôt que la théorie des ensembles comme Badiou nous y invite en montrant que c’est ce que la philosophie connaît depuis Aristote comme « ontologie ».

c’est exactement la voie proposée ici par le Nlab.

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W Lawvere : quantifiers and sheaves

https://pdfs.semanticscholar.org/6630/846a00261a071b71e264e0f532e29cd9152f.pdf

 

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Michael Shulman : towards elementary infinity -toposes

https://video.ias.edu/VoevodskyMemConf-2018/0913-MichaelShulman

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Adjonction

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality

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Hegel : science de la logique dans ncatlab

Ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/Science+of+Logic#Phen760

« Hence we formalize Wesen by ∞-topos « 

un cadre mathématique pour la doctrine hégélienne de l’Essence (Wesen) est choisi dans #HoTT et #HigherToposTheory :

»In (homotopy) type theory the appearance of a reflection of the type system in itself is a type universe Type∈H here) see also §833. This was introduced as a type theoretical reflection principle in Martin-Löf 74, p. 6 »

«

Adding a universe is a reflection process (Stanf. Enc. Phil. Extensions of Type System)

Introducing universes can be considered as a reflection principle: such a universe reflects those types whose names are its objects. Luo 11, section 2.5«

«

§827 It is the immediacy of non-being that constitutes illusory being; but this non-being is nothing else but the negativity of essence present within it. In essence, being is non-being. Its intrinsic nothingness is the negative nature of essence itself. But the immediacy or indifference which this non-being contains is essence’s own absolute being-in-itself. The negativity of essence is its equality with itself or its simple immediacy and indifference. Being has preserved itself in essence in so far as the latter in its infinite negativity has this equality with itself; it is through this that essence itself is being. The immediacy of the determinateness in illusory being over against essence is consequently nothing other than essence’s own immediacy; but the immediacy is not simply affirmative [seiend], but is the purely mediated or reflected immediacy that is illusory being-being, not as being, but only as the determinateness of being as opposed to mediation; being as a moment.«

«

§823 1. Being is illusory being. The being of illusory being consists solely in the sublatedness of being, in its nothingness; this nothingness it has in essence and apart from its nothingness, apart from essence, illusory being is not. It is the negative posited as negative.«

« Notice that here the text begins to say Nichtigkeit (∼ §803 this ultimate Aufhebung is the trivial unity of opposites id⊣id id encodes no determination and hence encodes “nothing”, but this is rather different from the sense of Nichts, Nichtsein (again ∼

We will read Nichtigkeit (∼ §823. This seems to match well with its use here, in particular with the repeated statemens §835 that movement of the essence is not like that of being from something (some determination, really) to something else (some other determination, oppose of sublated), but moves from nothing to nothing. This is hence speaking of id⊣id §827«

«827 It is the immediacy of non-being that constitutes illusory being; but this non-being is nothing else but the negativity of essence present within it. In essence, being is non-being. Its intrinsic nothingness is the negative nature of essence itself. But the immediacy or indifference which this non-being contains is essence’s own absolute being-in-itself. The negativity of essence is its equality with itself or its simple immediacy and indifference. Being has preserved itself in essence in so far as the latter in its infinite negativity has this equality with itself; it is through this that essence itself is being. The immediacy of the determinateness in illusory being over against essence is consequently nothing other than essence’s own immediacy; but the immediacy is not simply affirmative [seiend], but is the purely mediated or reflected immediacy that is illusory being-being, not as being, but only as the determinateness of being as opposed to mediation; being as a moment.

§828 These two moments, namely the nothingness which yet is and the being which is only a moment, or the implicit negativity and the reflected immediacy that constitute the moments of illusory being, are thus the moments of essence itself. What we have here is not an illusory show of being in essence, or an illusory show of essence in being; the illusory being in essence is not the illusory being of an other, but is illusory being per se, the illusory being of essence itself. What we have here is not an illusory show of being in essence, or an illusory show of essence in being; the illusory being in essence is not the illusory being of an other, but is illusory being per se, the illusory being of essence itself«

Reading Nichtigkeit here via §823 is id⊣id and reflektierte Unmittelbarkeit as the self-reflection of the  type universe via §833, then §828 says that the two moments of the Essence are

(id⊣id),Typewhich in turn is the ambient category and its type universe. Hence this gives again that Essence is the ambient ∞-topos

In (homotopy) type theory/(infinity,1)-topos theory the appearance of a reflection of the type system in itself is called type universe/object classifier (see there references listed here).

§834 Das Wesen ist Reflexion;…

§834 Essence is reflection…

See discussion at Wesen als Reflexion in Ihm Selbst

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Topos et hypothèse du continu

http://www.normalesup.org/~cagne/cagne_rapport_ter_m1.pdf

 

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La nature fonctorielle de la loi de création de Wronski

De l’eau a coulé sous les ponts depuis la rédaction de cet ancien article :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/25/la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories/

«Nous  avons donc forcément : le chien en tant qu’objet du monde, « transcendant » comme on dit, et mon idée de ce chien. »

sauf que « mon idée de ce chien » est une idée humaine : il n’y a pas d’Idée du chien, donc cela facilite les choses dans ce cas là, mais il faut soigneusement entre idée (humaine ) et Idée, intelligible, située dans l’Etendue Intelligible, « au ciel », « en Dieu » , dans le « royaume des Cieux » comme je dis parfois

« Donc suivant mon idée , qui pour l’instant  est d’ordre spéculatif, je commence à écrire le haut du diagramme de la loi de Wronski sous forme de foncteur entre deux catégories EE (être) et  ES  (savoir) :

EE   ——————————>  ES

la flèche étant un foncteur appelé EN. »

Ce sont là des idées humaines, inventées par Wronski, regroupées dans la fameuse « loi de création » de Wronski et l’objet de mon article d’aujourd’hui est d’éclairer ce thème avec d’autres idées humaines inventées un siècle après Wronski : topoi, catégories, foncteurs.

EE (élément.-être) correspond au monde, à la dialectique de l’être ; ES (élément – savoir) correspond au plan spirituel , à la dialectique de l’un.

cependant ce sont là des mots, des logoi.. passons aux mathèmes, d’autres idées humaines, mais qui sont des modèles plus adéquats et intelligibles (clairs)  des Idées  que sont plan vital et plan internel :

Un mathème pour EE est un topos , ce ne peut être que le topos Set , topos des ensembles

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

Si je choisis Cat (catégorie de toutes les catégories ) pour mathème associé a ES, il faut rappeler que ce n’est pas un Topos, mais un 2-topos

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

«Cat is a name for the category or 2-category of all categories.

This is also the archetypical 2-topos. »

https://ncatlab.org/nlab/show/2-topos

Pour l’instant, je ne tranche pas, car je ne suis pas assez fort mathématiquement parlant : je laisse X pour le mathème inconnu de ES, X étant un topos .

Quant au mathème De EN, ce sera un foncteur  entre Set et X :

Set ———————> X

c’est à dire un « morphisme géométrique «  entre deux topoi, deux objets de la 2-catégorie Topos de tous les topoi

https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+morphism

https://ncatlab.org/nlab/show/Topos

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Un morphisme géométrique est un couple de foncteurs adjoints, Laurent Lafforgue traite de ces foncteurs dans son exposé, auquel il faut revenir :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2019/08/16/grothendiecktopos-expose-de-laurent-lafforgue-sur-le-role-important-des-topos-de-grothendieck/

Le texte de la version longue de cet exposé est ici :

http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-26.pdf

voir page 11 def I-1 pour les morphismes géométriques

nous avons donc deux foncteurs en situation d’adjonction  :

– Un foncteur « image directe « F :  Set —————> X

– Un foncteur « image réciproque «  G : X ——————> Set

F est adjoint à droite de G et G est  adjoint à gauche de F et est «exact » c’est à dire respecte les limites finies ( en plus de respecter les colimites arbitraires puisque c’est un adjoint à gauche)

Il y a deux autres articles sur la « loi de création » :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/09/30/un-article-de-francis-warrain-sur-la-loi-de-creations-de-wronski-dans-hermes-numero-3-1937/

https://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/11/diagrammes-de-la-loi-de-creation-de-wronski/

 

 

Ces diagrammes évoquent l’Arbre des Sephirot de la Qabbalah , avec ses deux colonnes , de la Rigueur  (colonne de gauche) et de la Clémence (colonne de droite) :

 

sauf que la Kabbale, tradition ésotérique juive, remonte , comme ses correspondants islamique (soufisme) et chrétien, à des époques d’ignorance d’avant la Science. Ici nous tentons de projeter sur ces anciens glyphes la lumière des mathématiques modernes : topoi, et foncteurs, à partir du diagramme créé par Wronski au 19 eme siècle . Nous avons donc pour modèle mathématique du triangle des éléments primitifs de Wronski un foncteur qui est un couple de foncteurs adjoints entre Set et un topos X encore inconnu :

Set ——————> X

du côté droit du diagramme de Wronski ( côté de X) nous avons la dialectique de l’un; du côté gauche (côté  de Set ) nous avons le pilier ontologique, la dialectique de l’être.

mais prenons un exemple dans notre réalité quotidienne : celui du Temps.

Mettons qu’une bombe soit larguée sur Paris par un avion ennemi : l’événement « explosion de la bombe » est d’abord au futur, il se rapproche de plus en plus à mesure que la bombe tombe, puis elle explose à l’instant présent pour devenir un événement passé « la bombe à explosé » que l’on ne peut plus modifier , parce que c’est un événement qui EST, du domaine du passé c’est à dire du domaine de l’être, non modifiable ( coté gauche du diagramme, pilier de la Rigueur ) C’est à dire que le passage incessant de l’avenir (modifiable par l’action libre ) au passé (non modifiable, « irréversible »  ) est « représenté », « modélisé ») par le foncteur « image réciproque » dansle couple de foncteurs adjoints qui constitue le « morphisme géométrique » :

G : X ————-> Set

et le foncteur F adjoint à droite de G, le foncteur « image directe » , que représente t’il ?

Ici je vais rappeler la notion de « monde qui vient «  dans l’ésotérisme juif, la Kabbale :

עלם לבא (´olam la Bo)

aussi appelé « monde futur », mais pas futur au sens commun

c’est l’élément Savoir de Wronski, et l’élément être est le monde que nous habitons.

j’ai dit ici que le sens de l’existence est :

que tout l’être passe en Savoir…

c’est là ce que modélise, représente, signifie le foncteur « image directe »:

F : Set ————-> X

le passage incessant de l’avenir au passé, la « chute dans le temps » de Cioran , est une intuition appartenant hélas à tout être humain : quand c’est fini c’est fini, sous le Pont Mirabeau coule la Seine ,  le passé ne revient pas, laissez les morts enterrer les morts :

Le Pont Mirabeau

Sous le pont Mirabeau coule la Seine
Et nos amours
Faut-il qu’il m’en souvienne
La joie venait toujours après la peine.

Vienne la nuit sonne l’heure
Les jours s’en vont je demeure..

 

 

 

C’est là l’expérience commune, celle du plan ontologique : ni temps passé, ni les amours reviennent

et la sagesse des nations répond : mignonne, allons voir si la rose.. profitons de la vie et de la jeunesse car la mort vient

L’avis de Brunschvicg est un peu différent, et figure parmi les choses les plus profondes qu’on ait jamais dites:

»il est malaisé de décider si l’armée des vivants peut avoir l’espérance, suivant la magnifique image que nous a proposée  Bergson, de « culbuter la mort« ; mais, puisque le salut est en nous,n’est il pas assuré que l’armée des esprits débouche dans l’éternité, pourvu que nous ayons soin de maintenir à la notion d’éternité sa stricte signification d’immanence radicale ?  » 

Immanence radicale : Dieu est, non pas avec nous, comme un général en chef à la tête de l’armée des esprits ( l’esprit se refuse au Dieu du mystère comme au Dieu des armées) mais en nous.. c’est pour cette raison que je préfère « internité » à «  éternité »

Le premier foncteur  « image directe » formalise l’expérience vitale commune,celle de la finitude propre au plan vital; mais la mathématique nous dit : il existe un autre foncteur, adjoint au foncteur de la finitude vitale et de l’irréversibilité temporelle,  que l’on pourrait appeler du « relèvement spirituel «  (Aufhebung) et l’existence d’une intuition vague lui correspond et est attestée par le mythe du « monde qui vient »

 

https://saintebible.com/ezekiel/37-3.htm

« Il me fit passer auprès d’eux, tout autour; et voici, ils étaient fort nombreux, à la surface de la vallée, et ils étaient complètement secs. 3Il me dit: Fils de l’homme, ces os pourront-ils revivre? Je répondis: Seigneur Eternel, tu le sais. 4Il me dit: Prophétise sur ces os, et dis-leur: Ossements desséchés, écoutez la parole de l’Eternel!…«

l’expérience vague du temps qui s’écoule irréversiblement est commune à tous les individus humains vivants, mais le relèvement de l’être qui passe en Savoir  n’est pas une intuition individuelle   : il lui correspond peut être ce qu’on appelle, dans les bas-fonds de l’occultisme : chronique de l’Akasha

http://www.meybeck.net/sites/cosmobacchus.fr/files/Steiner-pdf/Steiner%20Rudolf%20-%201904%20-%20Chronique%20de%20l’Akasha.pdf

Mais Valentin Tomberg , dans les « Méditations sur les 22 arcanes majeurs du Tarot » :

https://kupdf.net/download/meditations-sur-les-22-arcanes-majeurs-dutarot-valentin-tomberg-_5af3dc40e2b6f53c544021bc_pdf

en donne une description moins simpliste : tout ce qui est du domaine de l’être n’est pas conservé- relevé dans une « chronique » où les « initiés » prétendus pourraient la lire et connaître ainsi l’histoire passée dans ses moindres détails..

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